Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дифференциал функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция у - f{x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение Ау = (х0 + Ах) -Дх0) в этой точке представимо в виде:

где А — некоторое число, не зависящее от Ах, а ?(Дх) — бесконечно малая функция при Ах —> 0 и Нш?(Лх) = 0 (см. §9 главы 4).

Д*—>0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейная функция А • Ах относительно приращения Ах называется дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначается d/(x0) или dу - А - Ах, где А = /'(х0); обозначив Ах как dx, получим

Дифференциал dу функции Дх) записывается в виде:

Из равенства (4.55) производную/'(х0) в любой точке х можно вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx:

Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть f{x) (рис. 4.22) определена в некоторой окрестности точки х0, непрерывна в точке х0, у0 = f(x0), М0 = (х0, у0). Зафиксируем приращение аргумента Ах. Пусть приращение функции Ау =f(x0 + Ах) -f(x0), тогда точка М = (х0 + Ах, у0 + Ay).

Рис. 4.22

Здесь MQS—касательная к кривой f[x) в точке М0 = (х0, у0), а — угол между касательной и осью Ох. Тогда MQA — приращение аргумента, AM — соответствующее приращение функции. Рассматривая треугольник АВМ0, получаем АВ = Ах tga = f0) Ах = dy, так как Д'(х0) = tga, т.е. это главная по порядку величины Ах и линейная относительно нее часть приращения функции Ау.

Производные комплекснозначных функций действительного аргумента

В §11 главы 4 мы ввели понятия гиперболического синуса sh х и гиперболического косинуса ch х:

Вычислим их производные:

V У

Иными словами, производная от гиперболического синуса — гиперболический косинус и — наоборот.

Если функция /(х) задана в некоторой окрестности точки х0 числовой оси и принимает комплексные значения, т.е. имеет вид:

то ее производная в точке х0 определяется равенством:

если 3 и'(х), v'(*) в точке х0.

ОПРИМЕР 4.24. Найти производную функции/(х) = cos ах + + i sin ах.

Решение. Воспользуемся основными правилами дифференцирования (подпараграф 12.2). Тогда

Замечание. (Я/, + Я/2)' = Я/,' + Я1 е С, Я2 е С.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>