Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Основные правила дифференцирования

Производная функции у =/[х) может быть найдена по следующей схеме:

  • 1. Дать аргументу х приращение Ах ф 0 и найти наращенное значение функции у + Ау =/[х + Ах).
  • 2. Найти приращение функции Ау = /(х + Ах) -/(х).

Ау

3. Составить отношение —.

Ах

, Ау

4. Найти предел этого отношения при Ах —> 0, т.е. у = Пт —

Д^О Д*

(если этот предел существует).

[>ПРИМЕР 4.19. Найти производную функции у = х3.

Решение: 1. Дадим аргументу х приращение Ах ф 0 и найдем наращенное значение функции у + Ау = (х + Ах)3.

  • 2. Найдем приращение функции Ау = (х + Ах)3 - х3 = х3 + Зх2Ах + + ЗхАх2 + Ах3 - х3 = Ах(3х2 + ЗхАх + Ах2).
  • 3. Составим отношение — = Зх2 + ЗхАх + Ах2.

Ах

4. Найдем предел

Итак, мы получили, что (х3)' = Зх2. Можно доказать, что для любого (не только натурального) п

Полезно знать частные случаи этой формулы при п = п = -1:

ОПРИМЕР 4.20. Найти производную функции у = х2 • [х'* .

3 и

Решение. Представим функцию в виде у = х2 • х4 = х4.

11 1

Теперь по формуле (4.42) найдем у =х4. ?

4

ОПРИМЕР 4.21. Составить уравнение касательной к кривой _ 1

У - — в точке х = I.

X

Решение. В соответствии с (4.41) уравнение касательной к

кривой у = f(x)=— в точке х = 1 имеет вид у -Д1) =f'(l)(x - 1). х

По формуле (4.44) найдем производную fx)=—— • При х = 1

х2

значение/'(1) = -1. Значение функции в этой точке _Д1) = 1. Уравнение касательной _у-1=-1(х-1) или л;+_у-2 = 0. ?

Правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю, т. е.

С = 0.

Правило очевидно, так как любое приращение постоянной функции у = С равно нулю.

2. Производная аргумента равна 1, т.е. х' = 1.

Правило следует из формулы (4.42) при п = 1.

В следующих правилах будем полагать, что и = и{х), v = v(x) — дифференцируемые функции.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

СЛЕДСТВИЕ 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

СЛЕДСТВИЕ 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

  • (при условии, что v ^ 0).
  • ? В качестве примера докажем правило 4, т.е. формулу (4.46). Пусть и = и{х) и v = v(x) — дифференцируемые функции. Найдем производную функции у — uv.
  • 1. Дадим аргументу л: приращение Ах Ф 0. Тогда функции и иг получат наращенные значения и + Аи и v + Ду, а функции у — значение у + Ау = (и + Au)(v + Av).
  • 2. Найдем приращение функции

Ау

3. Составим отношение —, которое представим в виде

4. Найдем предел этого отношения при Ах —»0, используя теоремы о пределах (см. подпараграф 7.3 главы 4):

На основании определения производной получаем, что

у - uv + uv' + uv' • 0, или у' = u'v + uv'. Ш

ОПРИМЕР 4.22. Найти производную функции у = f(x) и вычислить ее значение в точке х = I :

Р е ш е н и е. а) По формулам (4.46), (4.45) и (4.42)

Вычислить производную можно проще, если сначала раскрыть скобки, затем применить формулы (4.45), (4.42):

Значение производной в точке х = 1 есть

б) Сначала вынесем постоянный множитель за знак производной:

в) По формуле (4.49)

Как и в примере 4.22, вычислим производную более простым способом, разделив предварительно каждое слагаемое числителя на знаменатель. Получим

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>