Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Производная и дифференциал функции

Определение производной

Пусть функция у = /(х) определена на промежутке X. Возьмем точку хе X. Дадим значению х приращение Ах ^ 0 так, чтобы х + + Ах g X, тогда функция получит приращение Ау =Дх + Ах) -Дх).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции у = /(х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Производная функции имеет несколько обозначений: у', f(x), dy d/(x)

—,-. Иногда в обозначении производной используется ин-

dx dx

деке, указывающий, по какой переменной взята производная, например, у' .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только том случае, когда она в этой точке имеет конечную производную.

Если функция в точке л: имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

? ТЕОРЕМА 4.21. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция дифференцируема в

точке л;, значит, ПшАу = 0, следовательно, она непрерывна в этой

Д*->0 J

точке по определению. ?

Существуют функции непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые.

Ау „ Ау , Ау

Пт Ау = 0, но Пт — = 1; Пт — = -1, значит, Пт —^

Ддгч>0 Дг-»+0 Д у Дх-»-0 Д у Ддг-»() Д у

не существует (см. рис. 4.20).

Рис. 4.20

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой ни этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная/' (х0) есть ^г- ловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у = f{x) в точке х0, т.е. k = tga = f (х0) (рис. 4.21).

Тогда уравнение касательной к кривой у = f{x) в точке х0 примет вид

Рис. 4.21

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>