Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Свойства показательной функции

Если Zj и z7 — комплексные числа, то верны следующие свойства:

  • 1 °. е-'1 +г2 = е-'е-Т
  • ? В качестве примера докажем это свойство.

Поскольку левые и правые части выражений равны, то е'1 + 2г =

= eZ|e-2. ?

Свойства 2°-4° предлагаем читателю доказать самостоятельно.

Степени и корни

1. Возведение комплексного числа z = х + iy в п-ю степень (я-натуральное число) производится по формуле Муавра:

которую можно вывести из формулы умножения (4.33).

2. Если показатель степени — отрицательное целое число, полагаем

zn - lz~n (п < 0). Тогда для z", как следует из формулы (4.34), может быть использована формула Муавра.

3. Пусть показатель степени имеет дробный вид, т.е. п = —, те N,

т

1

тогда возведение числа z-x + iy в степень п = — называют извле-

т

чением корня степени т из числа z, т.е. zVm.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Каждое комплексное число W, такое что Wm — z, называют корнем т-й степени из z

Вычисление (4.36) также осуществляется по формуле Муавра,

но теперь для п = —. Однако, в то время как все рассмотренные т

до сих пор вычислительные операции имели однозначные результаты, операция л/z дает т различных результатов (корней):

т.е. yfz дает т различных чисел: yfz = zllm = {Wkk = 0,..., т - 1} = = {Wn,...,W

1 О9 5 m-V

Решение

уравнения IV" = z называют главным значением корня yfz. Так как все Wk имеют одинаковый модуль ^z, то они в соответствии со значе-

(pQ + 2як

ниями аргументов- (к = 0, 1, ..., т 1) лежат в вершинах

т

правильного многоугольника с центром в начале координат.

На рис. 4.19 изображено шесть значений %fz = {Wk; к = 0,1,..., 5}. Мы уже выяснили, что dn = cosср + isirup, тогда orin = cos

аналогично для синуса получим

Рис. 4.19

Логарифм комплексного числа z определим как Inz = lnr + i(pQ + 2 7tk, где lnr + i(p0 — главное значение логарифма.

Введем такие понятия, как гиперболический синус — sh х и гиперболический косинус — ch х, для которых справедливы следующие соотношения:

Замечание. Эпитет “гиперболический” объясняется тем, что уравнения х = a cht, у = a sttf, а > 0, < t < +°° являются

параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы х2 - у2 = а2 подобно тому, как уравнения х = a cos t, у = a sinf, 0 являются параметрическими уравнениями окружности х2 + у2 = а2.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>