Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Геометрическая интерпретация

Поставим в соответствие комплексному числу z = х + iy на плоскости точку А, которая имеет абсциссу х и ординату у относительно прямоугольной декартовой системы координат: А(х, у) (о числе z также говорят как о точке). Если О А = (х, у) — радиус- вектор точки А, то он также может быть использован в качестве геометрической интерпретации числа z-x + iy (рис. 4.18). Таким образом, множество точек плоскости, или множество радиус-векторов, соответствующих им, взаимно однозначно соответствует множеству комплексных чисел. Вся плоскость называется комплексной плоскостью. Точки оси абсцисс — действительной оси — соответствуют действительным, а точки оси ординат — мнимой оси — чисто мнимым комплексным числам.

Рис. 4.18

Комплексное число z=x — iy, сопряженное к z = х + iy, изображается точкой A j = (х, -у) — зеркальным образом точки А относительно действительной оси.

Тригонометрическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Аргументом комплексного числа z = х + iy (Arg z) называют угол <р0 (в радианах) между радиус-вектором О А = (л:, у) и положительным направлением действительной оси (см. рис. 4.18), определяемый с точностью до слагаемого, кратного 2л. Главным значением аргумента называют arg z = (р, где —к < () < л. Тогда имеем: Arg z = = arg z + 2лк, к е Z.

Например, arg (1 + i) = л/4.

Если обозначить длину вектора |z| = г, то справедливы равенства:

Тогда

Тригонометрические и показательные функции связаны формулой Эйлера:

значит,

Таким образом, для каждого комплексного числа возможны три представления: алгебраическое, тригонометрическое и показательное. Если а = а ? (cos

b = - (cosy/+ /sinу/), то

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>