Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Комплексные числа. Функции комплексного переменного

Основные определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексным числом z называют упорядоченную пару z - (х, у) действительных чисел со следующими свойствами:

1. Два комплексных числа г, = (х,, >>,) и z2 = (х2, у2) равны тогда и только тогда, когда

2. Сумма двух комплексных чисел z, = (хр и z2 =2, у2) определяется следующим образом:

3. Произведение двух комплексных чисел zx - (х,, у{) и z2 = (х2, у2) определяется следующим образом:

4. Деление двух комплексных чисел zx = (хр >>,) и z2 = (х2, у2) определяется как действие, обратное умножению:

Действительные числа содержатся в множестве комплексных чисел, а именно, все они являются парами вида (х, 0); условимся в дальнейшем писать (х, 0) = х.

Пары вида (0, у) называют {чисто) мнимыми числами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пара i = (0, 1) называется мнимой единицей'. (см. правило 3).

Запись (0, у) для чисто мнимого числа эквивалентна записи iy, так как (0, 1 )(у, 0) = (0 • у - 1 • 0, 0 • 0 + 1 ? у) = (0, у).

Каждое комплексное число z = (х, у) можно записать в виде суммы действительного числа х = (х, 0) и чисто мнимого числа iy = (0, у):

При этом х = Re z называется действительной частью комплексного числа z = х + iy, а у = Im zмнимой частью z = х + iy.

Итак:

1°. два комплексных числа zx - х, + iyx и z2 = х2 + iy2 равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

при х У у Ф 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех элементов х + iy, в котором заданы операции (4.26)—(4.28), называется множеством комплексных чисел С, а каждый его элемент — комплексным числом.

Каждому комплексному числу х + iy соответствует упорядоченная пара действительных чисел (х, у) и, наоборот, паре действительных чисел (х, у) соответствует комплексное число z = х + iy. Эти соответствия взаимно однозначны.

Рис. 4.17

Комплексное число z = х + iy можно рассматривать как вектор на плоскости с координатами х и у (рис. 4.17).

Координатная плоскость, векторы z = (х, у) которой интерпретируются как комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось X — действительной осью, Y — мнимой осью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под комплексным числом, сопряженным к

z = х + iy, понимают комплексное число z = х - iy, отличающееся от z

только знаком мнимой части. При этом имеют место следующие соотношения:

z = z; z = z тогда и только тогда, когда z — действительное число.

Длина |z| вектора z = (х, у) называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа z = х + iy:

Если z — действительное число, то модуль совпадает с абсолютной величиной |z|. На модуль комплексных чисел могут быть перенесены различные неравенства для абсолютных величин. Так, для любых комплексных чисел z, z., z,, z. , z, верны соотношения:

1 2 4 zk

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>