Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Непрерывность функции

Определение непрерывной функции. Точки разрыва. Асимптоты

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Рассмотрим функцию/(.х), определенную в некотором промежутке X, и пусть хх — точка этого промежутка.

Напомним, что понятие lim /(х) означает, что значения х{

х->х1

переменная х не принимает, оно может даже не принадлежать области определения функции. Однако особый интерес представляет именно случай, когда lim /(х) = f(xx).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Приращением некоторой переменной величины называется разность между новым значением этой величины и ее прежним значением, т.е. х, - х.

Для обозначения приращения используется греческая буква А; Ах = хх - х — приращение величины х.

Прибавляя к значению переменной величины ее приращение, получим приращенное значение этой величины. Например, х + Ах есть приращенное значение величины х.

Предположим, что у есть некоторая функция от аргумента х, т.е.

Дадим аргументу х приращение Ах, тогда у получит соответствующее приращение Ау:

Из равенств (4.19) и (4.20) следует:

Приведем несколько определений непрерывности функции в соответствии с определениями предела функции в точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Дх), определенная на множестве X, называется непрерывной при х = хх (или непрерывной в точке х,), если:

  • 1) функция определена при х - хх (т.е. х, е X);
  • 2) приращение функции в точке Xj стремится к нулю, когда приращение аргумента Ах{ = х - Xj стремится к нулю, т.е.

lim [f(xl + Ах1)-/(х1)] = 0, где бесконечно малое приращение

Дл-,-»0

AXj пробегает лишь те значения, для которых f{xx + Axt) имеет смысл.

Другими словами, функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Если же это условие нарушено, то говорят, что при этом значении (или в этой точке) функция имеет разрыв, а эта точка называется точкой разрыва функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция/(х) называется непрерывной в точке хр если для Ve > 0 3 8 = S(e, xt) > 0, такое, что Дх) - Дх^ = ДХ; + + AXj) -/(Xj)| < е при |AxJ < 8.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Дх) называется непрерывной в точке Хр если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Так как Пт х = а, то это равенство можно переписать в сле-

х—>а

дующей форме: lijn f(x) = f (limx).

УТВЕРЖДЕНИЕ. Приведенные выше определения непрерывности функции в точке хх эквивалентны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Дх) называется непрерывной справа (слева) в точке хх, если правый (левый) предел этой функции в точке Xj равен значению функции в этой точке.

Символическая запись непрерывности функции справа и, соответственно, слева:

Если функция непрерывна в точке я: слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) непрерывна в каждой точке промежутка X, то она называется непрерывной на всем этом промежутке X.

  • ? ТЕОРЕМА 4.12. Если множество значений монотонно возрастающей (убывающей) функции f(x), которые она принимает, когда х изменяется в промежутке X, содержится в некотором промежутке Y и заполняет его сплошь, то функция J[x) в промежутке X непрерывна. Ш
  • ? ТЕОРЕМА 4.13. Если две функции f(x) и g(x) определены в одном и том же промежутке X и обе непрерывны в точке х^ то в той же точке будут непрерывны и функции f(x) ± g(x), f(x) • g(x),

ЛЛ, (g(*0)*o). ?

g(x)

? ТЕОРЕМА 4.14. Пусть функция z = <р(х) непрерывна в точке х^ а функция у = f(z) непрерывна в точке z0 = <р(х0). Тогда сложная функция у =J[(p (х)] непрерывна в точке х0. ?

Иначе говоря, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция также непрерывная; сложная функция, состоящая из непрерывных функций, непрерывна.

В подпараграфе 6.3 главы 4 мы говорили о функции полезности. Теперь можно сформулировать условия, при которых функция полезности существует.

? УТВЕРЖДЕНИЕ (теорема Дебре). Если система предпочтений непрерывна, то существует непрерывная функция полезности. Ш

Надо отметить, что функция полезности, если она существует, не определяется единственным образом. Поэтому, если и{Х) — функция полезности, а у = f{x) — произвольная строго возрастающая числовая функция на R, то сложная функция f(u(X)) также есть функция полезности.

? ТЕОРЕМА 4.15. Если функция у — f(z) непрерывна в точке zQ и z0 = Нш (р (х), то lim f(z (х)) =/(Иш ф (*)) = /О0). ?

z-»z0 z-»z0 z-»z0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х0 разрыва функции f(x) называется точкой разрыва Iрода, если существуют конечные односторонние

пределы функции: Нш /(х) = f(x0 - 0), lim f(x) = f(x0 + 0).

jc——0 x—>x0+0

При этом функция Дх) не обязательно должна быть определена в точке х0, т.е./(х0) может не существовать.

Величина д = f(x0 + 0) - f[x0 - 0) называется скачком функции f{x) точке х0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х0 называется точкой разрыва Ирода,

если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов функции Дх) или хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.

На рис. 4.11 приведен случай, когда оба предела — бесконечность:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кусочно-непрерывной функцией называется такая функция, которая на любом конечном интервале имеет конечное число точек разрыва I рода.

Рис. 4.11

Примеры кусочно-непрерывных функций приведены на рис. 4.11, 4.12.

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой / (рис. 4.14).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая линия / называется асимптотой кривой L, если расстояние 8 от точки М кривой L до прямой / (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.

Рис. 4.14

В этом случае говорят, что кривая L асимптотически приближается к прямой / (рис. 4.14).

Различают асимптоты вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Рис. 4.15

Вертикальная асимптота - из определения асимптоты ясно, что если график функции у = Дх) имеет вертикальную асимптоту х = а, то при л: —> а хотя бы с одной из сторон (слева или справа) у —» +°о (у —> -).

Очевидно и обратное: если при х —> а ХОТЯ бы С ОДНОЙ ИЗ сторон у —> +оо —> —о°), то прямая х = а — вертикальная асимптота.

2

Г рафик у =-(рис. 4.15) имеет вертикальную асимптоту х = 3,

х-3

так как при х —» 3 - 0 у —> -<*>, при х —> 3 + 0 у —» +©о и точка х = 3 является точкой разрыва II рода.

Горизонтальная асимптота - если lim f(x) = b, то прямая »±°°

у = Ь — горизонтальная асимптота для графика функции Дх). Очевидно, что график функции на рис. 4.15 имеет горизонтальную асимптоту у = 0.

Наклонная асимптота - пусть Дх) можно представить в виде Дх) = кх + b + о(х), где а(х) —> 0 при х —> ±оо. Тогда прямая у = кх + Ь является наклонной асимптотой графика функции Дх) при х -» ±°о и

? ТЕОРЕМА 4.16. (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знаков). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь и пусть значения этой функции на концах отрезка /(а) и f(b) есть числа разных знаков. Тогда внутри отрезка [а, Ь найдется хотя бы одна такая точка значение функции в которой равно нулю (рис. 4.16). (Теорема Больцано-Коши). ?

Рис. 4.16

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число М (или т) называется точной верхней (или точной нижней) гранью функции f(x) на множестве {х}

если выполнены два требования:

  • 1) для каждого значения х из множества {х} справедливо неравенство f(x) < М (f(x) > т);
  • 2) для Ve > 0 Зх е {х}: f(x) > М - е (f(x) <т + е).
  • ? ТЕОРЕМА 4.17 (теорема Вейерштрасса). 1. Если функция fix) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке. 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М. Ш
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>