Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Два замечательных предела

Первый замечательный предел

? ТЕОРЕМА 4.10. Предел функции

sin х

х

в точке х = 0 суще

ствует и равен единице, т. е.

>ПРИМЕР 4.7. Найти предел функции sin (ax)/(bx), О, при х —> О.

Решение. Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса; только тогда можно будет применить первый замечательный предел, поскольку при .х —> 0 пределом ах также является нуль:

[>ПРИМЕР 4.8. Найти Иш — C°S*.

х2

Решение. Преобразуем данную дробь, чтобы можно было применить теорему 4.10:

ОПРИМЕР 4.9. Найти lim cosx cos3x

&#• л2

Решение. Как и в первых двух примерах, преобразуем данную дробь, чтобы “подогнать” ее под первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

/ л у

? ТЕОРЕМА 4.11. Предел функции f(x)= 1 + — пРи х —> 00

I х)

существует и равен числу е (ср. с (4.8)). ?

>ПРИМЕР4.10. Найти Цт (l + xf

Решение. Применим здесь замену переменной, полагая 1/х = у. Тогда у —> ©о при л: —> 0, т.е.

СЛЕДСТВИЕ 1 (из теоремы 4.11). lim (l + xfx = е. ОПРИМЕР 4.11. Найти lim {l + 2/xf.

X

Решение. Заменим переменную, положив у = — При х —> ©о

и у —> ©о, откуда

СЛЕДСТВИЕ 2 (из теоремы 4.11). Нш (l + a/xj = е".

Л—

ОПРИМЕР4.12. Найти lim ^log (l + x) ,а*1. Решение. Преобразуем дробь под знаком предела:

(см. теорему 4.15 и пример 4.10). ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>