Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Бюджетные и производственные множества

Определение бюджетного множества

В § 1 главы 1 мы уже говорили о пространстве товаров G и ввели понятие цены набора X -С (X).

Вспоминая, что такое линейное пространство, мы видим, что пространство товаров G представляет собой часть арифметического линейного пространства R" — так называемый неотрицательный октант, G = {X е R": Х> 0}. Поэтому при работе с пространством товаров можно использовать структуру линейного пространства (соблюдая некоторые естественные ограничения). Так, для любого X е G подмножество Lx = {XX: 0 < Я} называется лучом, проходящим через X; для любых двух точек X, Y любая точка аХ + (3Yе G называется их линейной комбинацией, а множество [X, Y] = {аХ + pY: а, р> 0, а + р = 1} называется отрезком, соединяющим X и Y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество fFcG назовем выпуклым, если вместе с любыми X, Y е W весь соединяющий их отрезок лежит в W.

В зависимости от цены набора все пространство товаров можно разбить на непересекающиеся классы.

С обыденной точки зрения каждый товар должен быть желателен для покупателя и должен обладать определенной потребительской полезностью. Это свойство товаров выражается в некоторой мере через цены на них.

Пусть вектор цен есть Р. Зафиксируем какую-нибудь денежную сумму Q и назовем ее доходом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество наборов товаров стоимости не более Q при данных ценах Р называется бюджетным множеством В; множество наборов товаров стоимости, равной Q, называется границей G этого бюджетного множества.

Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее их было бы обозначить В{Р, Q) и G (Р, Q).

Бюджетное множество и его границу можно определить как

или с помощью векторных неравенств и равенств:

B{P,Q)={X:X>0,PX0, РХ = Q}.

Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса о том, какое количество товаров или услуг он хочет и может приобрести при заданных ценах и его доходе.

Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов, желаний. Потребитель различает наборы товаров, предпочитая один набор товаров другому. Запись X < Y означает, что потребитель предпочитает набор X набору Y либо не делает между ними различий. Из-за последнего обстоятельства отношение “<” называется слабым предпочтением. Оно формирует еще два отношения: отношение равноценности (или безразличия) X ~ Y, если и только если X < Y и Y < X, и отношение предпочтения (или строгого предпочтения)X < Y, если и только если X < Y и неверно, что X ~ Y. Какими же свойствами обладают эти три отношения?

Математики называют отношение рефлексивным, если X < Y для всякого X; симметричным, если X < Y влечет, что и Y < X; транзитивным, если X < YwY < Z влечет X < Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, Y либо X < Y, либо Y < X.

АКСИОМА. Отношение слабого отношения рефлексивно, тран- зитивно и совершенно. 2. Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно. 3. Отношение предпочтения транзи- тивно. 4. Для любого X е G множество предпочтительности Рх - {Y: X < К} выпукло. 5. Каждый товар желателен для индивида: если X < Y, то и Y < X, а если к тому же X ^ Y (т.е. х. < у. для некоторого i), то Y < X.

Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтений индивида, вообще говоря, живого человека. Рефлексивность означает, что любой набор товара равноценен сам по себе, а совершенность означает, что индивид способен сравнить по привлекательности любые два набора товаров. Выпуклость означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль, один сахар, кофе, хлеб, хотя бы и в большем количестве).

Свойство транзитивности не совсем очевидно, однако интуитивно осознается потребителем при выборе товаров.

Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и тран- зитивно. Любое отношение, обладающее этими тремя свойствами, называется эквивалентностью. Любая эквивалентность на множестве разбивает это множество на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Итак, отношение равноценности является эквивалентностью и разбивает пространство товаров на непересекающиеся подмножества, называемые классами равноценности (или безразличия), а в случае двух или трех товаров эти классы называются линиями (или поверхностями) равноценности (или безразличия). Каждый отдельный класс равноценности состоит из наборов товаров, одинаково привлекательных для потребителя, — он не отдает предпочтения ни одному из этих наборов. При этом каждый набор из пространства товаров попадает в какой-нибудь класс равноценности, именно в тот, где собраны наборы, одинаково ценные с ним (для данного индивида).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>