Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Расстояние от точки до прямой

Угол между двумя прямыми.

Пусть заданы две прямые 1Х и /2:

и требуется определить угол между ними.

Из рис. 2.13 видно, что <р = а2- а{, причем кх = tgc^, к2 = tga2,

Рис. 2.13

Тогда

или

где стрелка означает, что угол получается поворотом прямой 1Х к прямой /, против часовой стрелки.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Если прямые у = кус + Ьх (1Х) и у = кус + Ь2 (/2) параллельны, то угол ср = О, и по формуле (2.10) получаем кх = к2. И наоборот, если кх = к2, то по формуле (2.10) следует, что tg = 0 и (р = 0. Таким образом, равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.

Аналогично можно показать, что для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратными по величине и противоположными по знаку, т.е.

Если прямые заданы общими уравнениями А ус + Вху + Сх = 0 (1Х) и Аус + В2у + С2 = 0 (/2), то, учитывая, что их угловые коэффициенты кх = -Ахх и к2 = -А22, условие параллельности прямых кх = к2

А В

примет вид —!1 = —, А2 Ф 0, В2 Ф 0. Следовательно, условием парал- А2 В2

лельности прямых, заданных общими уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности прямых k{k2 - -1 в этом случае примет вид

Следовательно, условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.

ОПРИМЕР 2.5. Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку Р(2; 1), одна из которых параллельна прямой Зх - 2у + 2 = 0, а другая перпендикулярна той же прямой.

Рис. 2.14

Решение. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку Р{2; 1), имеет вид у - 1 = = к(х - 2). Из этого пучка надо выделить две прямые /2 и /3—параллельную и перпендикулярную данной прямой /, (рис. 2.14). Для прямой /, угловой коэффициент кх = 3/2 (так как уравнение прямой 1Х можно предста-

3

вить в виде у = —х +1). Угловой коэффициент прямой /2 (по условию параллельности) к2х =

3

= 3/2, и ее уравнение имеет вид у — 1 =—(jc — 2), или Зх - 2у - 4 = 0.

Угловой коэффициент прямой /3 (по условию перпендикулярнос-

12 2

ти) к =--= —, и уравнение этой прямой у — 1 = —(х —2), или

кх 3 3

2х + Зу-1 = 0.

Задачу можно решить и другим способом. Прямая Ах + By + + С = 0 будет параллельна прямой Зх - 2у + 2 = 0, если ее коэффи-

А В л

циенты при х и у пропорциональны, т.е. — = —. Взяв А — 3,

3 -2

В - -2 (при коэффициенте пропорциональности, равном 1), получим уравнение Зх - 2у + С = 0. Коэффициент С найдем с учетом того, что координаты точки ^4(2; 1), лежащей на прямой, должны удовлетворять ее уравнению, т.е. 3 • 2-2 • 1 + С = 0, откуда С = -4 и уравнение прямой /2: Зх - 2у - 4 = 0.

Уравнение прямой, перпендикулярной данной: Зх-2у + 2 = 0, будет иметь вид + Зу + С = 0 (так как в этом случае сумма произведений коэффициентов при переменных х и у равна нулю, т.е. 3*2 + (-2) *3 = 0). Теперь, подставляя координаты точки Р(2; 1) в уравнение прямой, получим 2*2 + 3*1 + С = 0, откуда С = -1 и уравнение прямой /3: 2х-3у- 7=0. ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>