Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Метод Жордана-Гаусса.

Предлагаем читателю убедиться, что найденные числа образуют решение данной системы. ?

Суть метода Жордана-Гаусса заключается в построении такой ступенчатой матрицы, вдоль главной диагонали которой будут стоять лишь одни единицы. Затем, не производя обратного хода, как это было сделано в методе Гаусса, нужно продолжать элементарными преобразованиями снизу вверх обращать в нули элементы, стоящие над главной диагональю, до тех пор, пока слева до черты в расширенной матрице не будет стоять единичная матрица. Тогда справа получим решение системы уравнений. Это один из самых простых и изящных способов решения систем линейных уравнений.

О ПРИМЕР 1.19. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса:

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:

Преобразуем первый столбец: в результате получим

Преобразовываем далее:

Теперь работаем с нижней строкой, содержащей единицу в четвертом столбце, и с ее помощью “обнуляем” весь столбец. Не забываем выполнять действия со строчкой, содержащей не четыре, а пять элементов. Далее получаем

Справа получили столбец решений. Таким образом:

= 1, *2 = 2, Х3 = - 1, Х4 = - 2. ?

Метод Жордана-Гаусса вычисления обратной матрицы.

Используя метод Жордана-Гаусса, можно вычислять обратные матрицы менее трудоемким способом, чем через алгебраические дополнения.

Возьмем нашу обычную квадратную матрицу А и припишем к ней справа единичную матрицу той же размерности:

Элементарными преобразованиями над строками, используя алгоритм метода Жордана-Гаусса, приведем левую часть к единичной матрице:

Матрица В , полученная справа, и будет обратной к А .

( 2

ПРИМЕР 1.20. Найти обратную матрицу к матрице А =

V

Решение. Припишем справа к матрице единичную матрицу той же размерности и применим к полученной двойной матрице преобразования над строками:

(-2 1

А 1 = з / _/ Сделав проверку, получим А-1 А= A A~l= Е. 1/2 /2

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>