Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Крамера и метод обратной матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рассмотрим систему (1.25), у которой число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т-п. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель Д= А называется определителем системы.

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя неизвестными

в которой хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.

Для решения этой системы исключим переменную х2, умножив первое уравнение на а22, второе — на (->а12) и сложив их. Затем исключим переменную xv умножив первое уравнение на (-а ), второе — на я и также сложив их. В результате получим систему

Выражение в скобках есть определитель системы

Введем следующие обозначения:

система (1.29) при этом примет вид:

Из полученной системы следует, что если определитель системы А ф 0, то система (1.28) имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если А = 0, a Aj Ф 0 (или А2 Ф 0), то система (1.28) несовместная,

ГО- х, = Ар

так как в этом случае приводится к виду: J 1 1

|0-ж22.

Если А = А, = А2 = 0, то система (1.28) неопределенная и имеет бесконечное множество решений, так как в этом случае приво-

f 0 • х = 0,

дится к виду

[0 • х2 = 0.

? ТЕОРЕМА 1.7 (Крамера). Пусть АфОопределитель матрицы системы А, а А.определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда система имеет единственное решение, определяемое по формулам

Формулы (1.31) получили название формул Крамера.

Чтобы получить решения системы (1.25) при т = п , предположим, что квадратная матрица системы Апхп невырожденная, т.е. ее определитель А ф 0. В этом случае существует обратная матрица А '.

Умножая слева обе части матричного равенства (1.27) на матрицу А~ получим А~х (АХ) = А~ХВ. Так как А~х (АХ) = (А~ХА)Х = EX = X, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

Таким образом, чтобы найти решение системы уравнений, нужно обратную матрицу умножить на столбец свободных членов. Полученный в результате столбец и есть решение.

> ПРИМЕР 1.16. Решить систему уравнений

а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.

Р е ш е н и е. а) Обозначим

Тогда в матричной форме данная система имеет вид: АХ = В. Найдем определитель А= 10. Так как А ф 0, то матрица А невырожденная и существует обратная матрица А~х. Матрицу А~х находим по алгоритму, приведенному в § 3 главы 1. Получим

(см. пример 1.10).

Теперь по формуле (1.32)

^ 3 19

Таким образом, х, =—, х =—, х =—.

' 10 - 10 10

б) Найдем определитель системы А = А = 10. Так как А ^ 0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц Др А2, А3, полученных из матрицы А заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

(рекомендуем читателю вычислить самостоятельно). Теперь по формулам Крамера (1.31)

После решения системы (любым способом) рекомендуем сделать проверку, подставив найденные значения неизвестных в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства. ?

Иногда приходится сталкиваться с применением метода обратной матрицы для решения матричных уравнений.

> ПРИМЕР 1.17. Даны матрицы

Решить матричные уравнения: а) АХ = В; 6) ХА = С.

Р е ш е н и е. а) Так как матрица А - невырожденная (А ф 0), то решение уравнения АХ = В находится по формуле X = А ХВ.

Найдем обратную матрицу Ал согласно алгоритму, приведенному в § 3 главы 1: А = 1. Матрица А', транспонированная к А,

(3 Л

имеет вид А = ^ ^ , а матрица А из алгебраических дополнений

/

~ ( -г

элементов матрицы А' есть А— .

, 1 ~ (I -2

Следовательно, Л=--А— и искомая матрица

А -1 3

б) Так как матрица А — невырожденная, то существует мат- рица А 1 и Х = СА1.

Следовательно,

При решении систем п линейных уравнений с п неизвестными по формулам Крамера и методом обратной матрицы нам приходится сталкиваться с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы, что является существенным недостатком этих методов. Особенно, если матрицы системы имеют достаточно высокий порядок. Поэтому эти методы не всегда могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся к системам с большим числом уравнений и неизвестных.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>