Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Основные понятия и определения

Систему т линейных уравнений с п неизвестными

где х,, х2,..., хп — неизвестные числа, а.., Ь. (7=1,2,..., т; у = 1,2,..., п) — заданные числа, называемые соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений, с помощью знаков суммирования можно записать более кратко:

или в матричном виде (1.27).

Обозначим:

где Атхпматрица коэффициентов при неизвестных, или матрица системы, Xматрица-столбец неизвестных', Вматрица- столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы Атхп равно числу строк матрицы X , то их произведение

есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части системы (1.25). На основании определения равенства матриц систему (1.25) можно записать в виде:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность таких п чисел (Xj = к{, х2 = = к2,..., хп - кп), при подстановке которых в систему каждое уравнение системы обращается в верное равенство, называется решением системы линейных алгебраических уравнений (1.25).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, и — несовместной, если решений она не имеет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совместная система уравнений называется определенной, если она обладает одним единственным решением, и неопределенной, если она имеет бесконечно много решений.

Например, система уравнений J Х' — совместная

[2*, - Зх2 = -6

и определенная, так как имеет единственное решение (0,2); система ГЗх - х = 1,

— несовместная; а система уравнении

1з*,-*2 = 5

f X + X2 = 1,

J 1 2 — совместная и неопределенная, так как имеет

[- 2х, - 2 = -2

бесконечное множество решений х = с; х2 = 1 - с, где с — любое число).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если две (или несколько) системы уравнений имеют одно и то же множество решений, то они называются равносильными, или эквивалентными.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>