Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ

Векторные пространства и матрицы

Основные сведения о векторах и векторных пространствах

Очень часто для построения экономических моделей требуется простая, компактная форма записи экономических процессов. Этим объясняется необходимость введения понятия матрицы и основанного на нем раздела математики — матричной алгебры. Но прежде нужно вспомнить некоторые понятия и ввести ряд определений.

Многие утверждения и теоремы учебника приводятся без доказательств, чтобы упростить студентам-экономистам их и без того нелегкий путь овладения необходимым математическим инструментарием. Цифры в квадратных скобках означают ссылки на список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги.

Кроме того, все главы этой книги можно рассматривать как продолжение школьного курса математики. Поэтому мы не ставим своей целью изложение логических основ предмета и опираемся на многие понятия и теоремы курса элементарной математики. Например, определение вещественных (действительных) чисел, декартовой системы координат, отображения, точки, прямой, длины отрезка.

Понятие вектора также известно из школьного курса математики, но мы напомним основные положения, с ним связанные.

Если про две точки известно, какая из них первая, а какая — вторая, то эту пару точек мы назовем упорядоченной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отрезок, концы которого упорядочены, называется направленным отрезком, или вектором. Первый из его концов называется началом, второй — концом вектора. Нулевым будет вектор, у которого начало и конец совпадают.

В книге буквы, обозначающие вектора, набраны курсивным шрифтом, например вектор а. Нулевой вектор обозначается о.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или абсолютной величиной, и обозначается Л.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны. Векторы компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Его длина равна нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Понятие множества также является одним из основных в математике.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Семейство объектов, объединенных по определенному признаку, называется множеством. Объекты, составляющие множество, называются его элементами, или точками.

Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы - малыми буквами. Элемент л; из множества X соответствует записи х е X (х принадлежит X); если же элемент х не входит в множество X, то это соответствует записи х? X (х не принадлежит X). Если все элементы множества X содержатся в другом множестве Y, то X с Y и говорят, что X является подмножеством множества Y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вещественным векторным пространством

называется множество L, элементы которого являются векторами, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам).

  • 1. Определена операция сложения векторов, результатом которой является вектор: a,b е L => а + b е L.
  • 2. а + b = b + а для всех a, b е L (коммутативность).
  • 3. а + (Ь + с) = (а + Ь) + с для всех a,b,ce L (ассоциативность).
  • 4. Существует нулевой вектор о, такой, что о + а = а + о = а для любого a g L.
  • 5. Для всякого вектора а е L и вещественного числа а е R определено их произведение аа е L.
  • 6. + (3)а = сса + (5а для всех а, Ре Rhcie L.
  • 7. а (а + Ь) = аа + ab для всех ае Rua, b е L.
  • 8. Оа = о для всех а е L.
  • 9. 1 а - а для всех а е L.

Элементами (точками, векторами) вещественного векторного пространства R" являются векторы-столбцы, состоящие из п ве-

V

а2

щественных чисел а = . ; операции сложения и умножения на

а

V " /

число определены следующим образом:

Нулевой вектор имеет все координаты, равные нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор а - (av а2,..., ап) и вектор b = фх, Ь2, ..., Ьп) равны в том случае, если совпадают их компоненты, стоящие на одинаковых местах, т.е. если а = Ь., при j = 1,2,..., п .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Противоположным вектору а называется вектор = {-ах, 2,..., -ап). Очевидно, что а + (-а) - 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью векторов а и b называется вектор a-b = а + (-b), или a- b = (а{- bv а22,..., ап - bt).

Сложение «-мерных векторов возникло из геометрического сложения векторов на плоскости или в трехмерном пространстве и производится по правилу параллелограмма.

Умножение вектора а на действительное число к означает растяжение вектора в к раз при к > 1 и сжатие вектора в к раз при |/:| < 1. При этом если к < 0, то направление вектора ка противоположно направлению вектора а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением двух векторов а и b называется действительное число, равное сумме произведений соответствующих компонент этих векторов: а-b = ахЬх + а2 Ь2 + ... + + а b .

п п

В векторной записи , b ) = a b =a cos (р, т. е. скалярное произведение равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Длиной вектора а, или его модулем, называется действительное неотрицательное число а = у/а? +а + ... + а% .

Рассмотрим линейное уравнение, содержащее п неизвестных: ах * + а2х2 + ...+ апхп = Ь. Левая часть этого уравнения — линейная функция от п неизвестных:

z = аххj + а2х2 + ...+ апхп; она может быть представлена в виде скалярного произведения векторов z =а • х, где а = (а , а2, ..., ап), X = г, х2,..., Хп).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор b «-мерного векторного пространства называется пропорциональным вектору а, если существует такое число к, при котором выполняется соотношение Ъ - ка.

В частности, нулевой вектор пропорционален любому вектору а, так как 0 а - 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор b называется линейной комбинацией векторов ах2,...,ап, если существуют такие числа kv k2,..., kn, при которых выполняется соотношение: b = kxax + k2a2 + ...+ knan.

Следовательно, каждая j -я компонента вектора b при j = 1, 2,...,« равна сумме произведений j-x компонент векторов ах2,...,ап соответственно на числа k,, L ,..., к .

1’ 2 ’ ’ п

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов ау, а2,..., аг, (г > 0) называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой — в противном случае.

Например, система векторов/? = (8, 5,11), ах = (1,2, 3), а2 = (3,2,1), = (3, 1, 2) линейно зависима, так как вектор b — линейная комбинация векторов ах, а2, аъ, так как вектор b можно представить в виде b = 2а - а2 + 3я :

Можно несколько иначе определить линейно независимые и линейно зависимые векторы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы ах, ..., ак называются линейно независимыми, если из того, что

следует, что все а. = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы ах,..., ак называются линейно зависимыми, если существует набор a, i - 1, ..., к, где хотя бы одно а отлично от нуля.

Например, система двух векторов ах = (1, 0) и а2 = (0, 2) линейно независима; система двух векторов bx = (1, 2, 1) и = (2, 4, 2) линейно зависима, так как />, - Х - 0 или Ь2 = 2Ьх.

Укажем свойства линейно зависимой системы векторов.

  • 1°. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима.
  • 2°. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
  • 3°. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится, по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве.

В случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой,

т.е. эти векторы коллинеарны или, что то же самое, находятся на параллельных прямых. В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны; достаточно “подправить” соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

УТВЕРЖДЕНИЕ. В пространстве R" любая система, содержащая т векторов, линейно зависима при т> п.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейный подпространством линейного пространства L называется подмножество К векторов пространства L, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. из того, что векторы а, b е К, следует, что а + Ьиаа принадлежат К.

Например, рассмотрим множество векторов из R", состоящее из таких векторов, у которых последние п-k координат равны 0. Нетрудно проверить, что это множество является линейным подпространством пространства R", совпадающим с Rn.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех линейных комбинаций векторов ах,..., ak е L и ахах + а2а2 + - + акак = 0, а. е R, называется пространством, порожденным векторами ах, ..., ак. (Проверьте, что оно является линейным подпространством векторного пространства L.)

Если линейное подпространство К векторного пространства L не совпадает с ним, то его часто называют гиперплоскостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Набор векторов ах,..., ап е L называется базисом пространства L, если выполняются два условия:

  • 1) векторы ах, ...,апе L линейно независимы;
  • 2) пространство, порожденное векторами ах,..., ап е L, совпадает с L, или всякий вектор пространства L линейно выражается через эти векторы.

Например, набор векторов е , i = 1, п, у которых все координаты, кроме 1-й, равны нулю, а /-я координата равна 1, является базисом в пространстве R". Сами векторы е. еще называют базисными.

Для записи таких векторов удобно использовать символ Кронекера:

V

Тогда базисные векторы можно записать как е%- :

Ы

УТВЕРЖДЕНИЕ. Все базисы векторного пространства L содержат одно и то же число векторов, которое называется размерностью dim (L) векторного пространства L.

Например, размерность R" равна: dim (Rn) = п.

Рассмотрим в трехмерном векторном пространстве прямоугольную систему координат ОXYZ и три единичных вектор: е2, еу Рассмотрим векторы на осях координат так, чтобы их направление совпадало с положительным направлением осей; тогда их можно записать в следующем виде:

Эти векторы образуют систему единичных векторов трехмерного векторного пространства L.

Система единичных векторов «-мерного векторного пространства:

УТВЕРЖДЕНИЕ. Система единичных векторов линейно независима и образует базис.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Любой вектор а линейного пространства можно единственным способом разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: а = а{а{ + а2а2 + + ••• + а а , а е R.

п П? I

"3"

Разложим вектор а= 2 по единичному базису:

5

V /

f3l (l) f°)

а= 2 = 3е1 + 2е1+5е3=3 0 +2 1 +5 0. Точно так же мож-

5 0 0 1

/ W V У W

но разложить любой вектор.

Приведем пример из экономики. Под товаром понимается некоторое благо (или услуга), поступившее в продажу в определенное время и в определенном месте.

Будем считать, что имеется п различных товаров, количество /-го товара обозначается х., тогда некоторый набор товаров обозначается X = (х1? х2, ..., хл). Как уже выяснили, упорядоченный набор « чисел называется «-мерным вектором, так что X есть «- мерный вектор. Будем рассматривать, как правило, только неотрицательное количества товаров, так что х. > 0 для любого i = 1,..., «, или Х> 0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров G. Набор товаров можно трактовать как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Аналогично интерпретируются и операции с наборами товаров.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным оператором называется отображение векторного пространства L в векторное пространство М,А :L -> М, обладающее следующими свойствами:

  • 1. А(а + Ь) = А(а) + А{Ь) для всех a, b е L,
  • 2. А(аа) = аА(а) для всех ае R,ag L.

Линейный оператор полностью определяется своими значениями на базисных векторах. В самом деле, любой вектор х, принадлежащий «-мерному векторному пространству L, можно разложить по базисным векторам е.х- ахех + а2е2 + ... + аеп, а. е R. Тогда, используя определение линейного оператора, получаем: А(х) = + а2А(е2) + ... + аА(е).

Каждый из « векторов A{e^,j = 1,..., « также можно разложить

т

по базису /., i = 1,..., т (в m-мерном пространстве М): А(е.) = ?arlr

;=I

Таким образом, линейному оператору А и выбранным базисам {е{/.} в пространствах L, М соответствует таблица т х « действительных чисел.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>