Полная версия

Главная arrow Бухучет и аудит arrow Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ДИСКРЕТНЫЙ МАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

В данном параграфе обсуждаются основные понятия дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Определяются вероятности состояний системы, в которой протекает такой процесс, и плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние. Для вычисления вероятностей состояний выводится система дифференциальных уравнений Колмогорова.

Помимо случайных процессов с дискретным временем на практике достаточно часто встречаются случайные процессы с непрерывным временем, при которых система может менять свои состояния в любой случайный момент времени (см. определение 2.2).

Пусть 5р ..., sn всевозможные состояния системы S.

Определение 4.1. Вероятностьpft) = p(Sft)), i = 1,..., п, t > 0, события Sft), состоящего в том, что система S в момент времени t находится в состоянии s., называется вероятностью i-го состояния системы в момент времени t.

Вероятность состояния pft) является, таким образом, вероятностной функцией времени t > 0.

Марковский дискретный процесс с непрерывным временем считается изученным, если найдены все вероятности состояний pft),

i= 1,

Так как в любой момент времени t система S будет находиться только в одном из состояний 5р ..., sn, то события Sft), i = 1, ..., п несовместны и образуют полную группу. Поэтому (как известно из теории вероятности) имеет место нормировочное условие

Допустим, что в момент времени t произошел (случайный) перескок (sj —»sp системы S из состояния s. в состояние Sj. «Перескок» будем понимать в широком смысле, допускающем возможность равенства у = 1, т.е. допускающем и случай «перескока» системы S из состояния sj в состояние sj (система не перескакивает в другое состояние). Момент времени t, в который произошел перескок, будем рассматривать в качестве значения случайной величины (sj —> s). Так как значения t заполняют сплошь временной промежуток, то эта случайная величина является непрерывной.

Как известно, случайная величина принимает свои значения в результате проведенного опыта, т.е. в результате выполнения некоторых условий. Для рассматриваемой случайной величины таким условием является условие пребывания системы S в состоянии sr из которого произошел перескок.

Из теории вероятностей известно (см., например, [5, с. 113], следствие 2), что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю. Следовательно, вероятность того, что перескок (si -> sj) произойдет точно в момент времени t, равна нулю: р.р) = 0 для любых i,j е {1, ..., п) и любого t > 0. Поэтому вероятности перехода в случае процесса с непрерывным временем уже не играют той определяющей роли в вычислении вероятностей состояний, которую они исполняли в случае процесса с дискретным временем. Вместо переходных вероятностей в процессе с непрерывным временем рассматривают иные характеристики процесса — так называемые плотности вероятностей перехода А... из состояния s. в состояние которые определяются следующим образом.

Обозначим через/г.(/; At), i ф], At > 0 — вероятность того, что система S, находившаяся в момент времени t в состоянии s., за промежуток времени [t, t + Д7], At > 0 (т.е. за время At) перейдет из него в другое (/ ф j) состояние s. (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

Равенство Л.(/; At) = 0 (/ ф j) выполняется в следующих случаях:

  • • система S в момент времени t не находится в состоянии sr,
  • • система S в момент времени t находится в состоянии sr однако за промежуток времени [t, t + At] она перешла в состояние sk, отличное от состояния Sj {/'ф/с);
  • • система S в момент времени t находится в состоянии ^ и остается в этом состоянии на протяжении всего промежутка времени [t, t +At].

Для равных индексов i = j вероятности перехода в другое состояние pu(t; At) теряют содержательный смысл, и поскольку переход в другое состояние не осуществляется, то будем по определению считать, чтоpu(t; At) = 0, /= 1,..., п.

Определение 4.2. Плотностью вероятности перехода системы S из состояния s( в состояние Sj в момент времени t называется величина

Из (4.2) следует, что

Из определения 4.2 плотностей вероятности перехода Xy(t) видно, что они в общем случае зависят от времени t, неотрицательны и в отличие от вероятностей могут быть больше 1, но Xu{t) = 0, /= 1,..., п.

Определение 4.3. Если при любых / ф j, i,j = 1,..., п, плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, и тогда вместо Xy(t) будем писать просто Ху, то марковский процесс с непрерывным временем называется однородным. Если же хотя бы при одной паре значений i ф j плотность вероятности перехода Ху изменяется с течением времени t, то процесс называется неоднородным.

Рассмотрим далее однородный дискретный марковский процесс с непрерывным временем.

Определение 4.4. Граф состояний марковского однородного процесса с непрерывным временем, у стрелок которого указаны плотности вероятностей переходов Ху, называется размеченным.

Пример 4.1. На рис. 4.2 изображен размеченный граф состояний системы, в которой протекает процесс с непрерывным временем.

Рис. 4.2

Отсутствие на графе стрелок из одних состояний в другие означает, что плотности вероятностей соответствующих переходов равны нулю. Например Х21 = 0. ?

Поскольку плотности вероятностей переходов снабжены двумя индексами, то их удобно расположить в виде матрицы

где Л,,, А,22 ... Хпп 0.

Зная плотности вероятностей перехода X.., i,j = 1, ..., п, можно составить систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний pft), / = 1, •••, я, а именно справедлива теорема.

Теорема 4.1. Вероятности состоянийpft), /= 1, ..., п (неизвестные вероятностные функции) являются решением следующей системы дифференциальных уравнений

Доказательство: Придадим моменту времени / малое приращение At > 0 и рассмотрим событие Sft + At), состоящее в том, что в момент t + At система S будет находиться в состоянии sr Это событие может произойти при появлении одного из следующих двух событий Aft, At) или В ft, At).

Событие Aft, At) состоит в том, что в момент t система S уже была в состоянии s., а за время At не вышла из этого состояния, т.е. не перешла ни в какое другое состояние s.,j= 1,..., n,j ф i.

Событие В ft, At) состоит в том, что в момент t система S находилась в одном из состояний s.,j = 1, ..., п, j ф i, отличном от sp а за время At перешла из него в состояние sr

Очевидно, что события Aft, At) и В fit, At) несовместны и потому, по теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Событие Aft, At) представляет собой произведение двух зависимых событий: события Sft), состоящего в том, что система S в момент t находилась в состоянии sp и события С ft, At), состоящего в том, что за время At система S не вышла из состояния sr Поэтому, по теореме умножения вероятностей зависимых событий,

где p(Sft)) = pft) вероятность события Sft), т.е. вероятность состояния 5. в момент t, a p(Cft, At) Sft)) условная вероятность события С ft, At) при условии, что событие Sft) уже наступило, т.е. при условии того, что в момент t система S уже находилась в состоянии Sr

Для вычисления условной вероятности р(Ср, At) | 5.(0) рассмотрим противоположное событию C.(t, At) событие С, (Г, At), состоящее в том, что система S за время At выйдет из /-го состояния и являющееся, очевидно, суммой событий Dp, At),j = 1, ..., nj ф /', состоящих в том, что система S за время At перейдет из состояния s. в состояние Sj. Поскольку события Dp, At),j = 1,..., n;j ф i, несовместны, то для условных вероятностей этих событий, при условии, что событие 5.(/) уже наступило, будем иметь

Подставляя сюда (4.3) с учетом того, что в однородном процессе Хр) не зависят от времени /, получим:

Тогда

Подставляя это в (4.6), найдем вероятность события Ар, At):

Для вычисления вероятности события Bp, At) рассмотрим событие E.(t, At),j = 1,..., nj ф i, состоящее в том, что в момент времени t система S уже находилась в состоянии 5, а за время At она перешла в состояние sr Событие Ер, At) представляет собой произведение двух зависимых событий: события Ер), состоящего в том, что система S в момент t находилась в состоянии Sj, и события Dp, At), состоящего в том, что за время At система S из состояния 5. перейдет в состояние sr По теореме умножения вероятностей зависимых событий с использованием (4.3),

Событие Bp, At) есть сумма несовместных событий Ер, At),j = = 1, ..., nj ф 1, а потому, по теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Подставляя (4.7) и (4.8) в (4.5), получаем откуда

Переходя в этом равенстве к пределу при At —»0, получим дифференциальное уравнение для функции pfj)

которое совпадает с уравнением системы (4.4), если принять во внимание, что Xtt= 0. ?

Так как искомые функции pfj) — функции одной переменной — времени t, то каждое уравнение системы (4.4) является обыкновенным дифференциальным уравнением.

Поскольку неизвестные функции pfj) и их производные входят в уравнение (4.4) только в первой степени, то каждое уравнение системы (4.4) называют линейным.

'Г - Ф/(0 1

Так как наивысшии порядок производных —— и искомых функ-

dt

ций pft) — первый, то уравнения системы (4.4) являются дифференциальными уравнениями первого порядка.

Так как в каждом уравнении системы (4.4) свободные члены равны нулю, то уравнения системы (4.4) являются однородными.

Наконец, поскольку мы рассматриваем однородный процесс, то коэффициенты Ху в уравнениях (4.4) постоянны (относительно времени t).

Итак, система (4.4) представляет собой систему п обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Если процесс неоднороден, то хотя бы один из коэффициентов Ху будет зависеть от t и в этом случае уравнения (4.4) называют уравнениями с переменными коэффициентами.

Определение 4.5. Система (4.4) называется системой дифференциальных уравнений Колмогорова1.

Колмогоров Андрей Николаевич (25.04.1903 — 20.10.1987) — выдающийся советский математик, академик, член Академии педагогических наук СССР, профессор Московского государственного университета, президент

Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова удобно по одному из следующих двух правил.

/ правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу состояний:

Для того, чтобы составить дифференциальное уравнение Колмогорова для функции /т(7) (/ = 1,п), надо в левой части этого урав-

dp,(t) , / ч

нения записать производную —— функции ру), а в правой — про-

г п Л п

изведение - ^ Ху p,(t) суммы ^Ху плотностей вероятностей

) j=i

переходов Xj. у стрелок, выходящих из состояния х., на вероятность

,J ' п

pft) ЭТОГО СОСТОЯНИЯ СО знаком «минус» И ПЛЮС сумму ^XjjPjit) про-

j=1

изведений Х(рр) плотностей вероятностей переходов Ху, соответствующих стрелкам, входящим в состояние sp на вероятности состояний Pj(t), из которых эти стрелки выходят. При этом плотности вероятностей переходов Xjp соответствующие отсутствующим на графе стрелкам, равны нулю.

Пример 4.2. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная по размеченному графу на рис. 4.2, будет выглядеть следующим образом:

Московского математического общества (1964—1966), иностранный член Парижской академии наук, член Лондонского Королевского общества и ряда других зарубежных академий наук, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР; основные научные достижения в области теории функций действительного переменного, теории вероятностей, конструктивной логики, топологии, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, приложений математики в механике, военном деле, биологии, технике и лингвистике; заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем.

II правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов.

Для составления дифференциального уравнений Колмогорова для функции pft) (/= 1, п) надо в левой части этого уравнения dp At) , ,.

записать производную —— функции pft), а в правой — произведе-

f п Л п

ние- pft) суммы ^ А,,-,- элементов Ху /-й строки матрицы Л на

J=1 J №

вероятность pft) состояния sj (номер которого совпадает с номером

П

взятой строки) со знаком «минус» плюс сумму ^fijiPjit) произведе-

j=1

ний Х.рр) элементов Х~ /-го столбца на соответствующие им вероятности рр).

Пример 4.3. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная, например, по матрице плотностей вероятностей переходов

имеет следующий вид:

Начальные условия системы дифференциальных уравнений Колмогорова определяются заданным распределением вероятностей состояний системы в начальный момент времени / = 0: Pj(0), ...,рп(0), удовлетворяющих нормировочному условию (4.1). Если в начальный момент времени система S находится в состоянии sm, т е {1, ..., п), то из нормировочного условия (4.1) получаем такое начальное распределение вероятностей

Определение 4.6. Систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно входящих в нее производных искомых функций, называют системой, имеющей нормальную форму Коши а задачу нахождения неизвестных функций этой системы, удовлетворяющих указанным выше начальным условиям, — задачей Коши.

Таким образом, для системы дифференциальных уравнений Колмогорова (4.4) (как и для систем в примерах 4.2 и 4.3), имеющих нормальную форму Коши, ставится задача Коши.

Пример 4.4. Для изучения надежности эксплуатации счетчика банкнот TECHNITROL 940, который мы примем за систему S, рассмотрим следующие три его основания: s, — счетчик исправен, но не находится в состоянии эксплуатации, s2 — счетчик исправен и находится в состоянии эксплуатации, s3 счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.

Будем предполагать, что счетчик банкнот может выйти из строя только во время его эксплуатации. На данном этапе изучения ремонт неисправного счетчика не предполагается (так что состояние s3 является ловушкой). Будем также считать, что изменения плотностей вероятностей переходов системы S из состояния в состояние пренебрежимо малы, т.е. плотности вероятностей переходов практически не зависят от времени (тем более, если промежуток времени, в течении которого мы анализируем работу счетчика банкнот, не очень велик). Размеченный граф состояний системы дан на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Требуется найти вероятности состояний счетчика в момент/= 1, если в начальный момент t = 0 счетчик банкнот был исправен, но не экс плуатировался.

1 Коши Огюстен Луи (21.08.1789 — 23.05.1857) — французский математик, член Института Франции (с 1816г.), работал на сооружении военного порта в Шербуре (1810—1813), профессор Политехнической школы (с 1816 г.), Сорбонны (1816—1830), Коллеж де Франс (1848—1857), почетный член Петербургской академии наук (с 1831 г.); написал более 700 математических работ, в которых заложил основы теории функций, математического анализа, математической физики; в теории дифференциальных уравнений ему принадлежит заслуга постановки одной из основных ее задач, носящей ныне его имя, — задачи Коши.

Так как счетчик может менять свои состояния случайным образом в случайные моменты времени, а в каждый момент он пребывает в одном из состояний s2, s3, то процесс, протекающий в системе S, будет дискретным случайным процессом с непрерывным временем. Данный процесс можно считать марковским, поскольку состояния счетчика в будущем существенно зависят от его состояний в настоящий момент времени и несущественно от его состояний в прошлом. Незначительные колебания плотностей вероятностей переходов с течением времени позволяют нам сделать допущение об однородности рассматриваемого процесса.

Матрица плотностей вероятностей переходов, составленная по графу на рис. 4.3, имеет вид

Сначала найдем вероятности состояний px(t), P2(t), />3(0 в любой момент времени t.

Используя одно из правил I или II, составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Так как в начальный момент t = 0 счетчик был исправен, но не эксплуатировался, то система S находилась в состоянии s{ и, следовательно, мы можем выписать начальные условия:

Первые два уравнения системы (4.9) не содержат функции p3(t), и потому их можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями p{(t) иp2(t), из которой при переносе правых частей в левые получим:

Из теории дифференциальных уравнений [6] известно, что частное решение системы (4.11) ищется в виде показательных функций

где yp у2 и X — постоянные (которые следует подобрать так, чтобы функции (4.12) удовлетворяли системе (4.11).

Подставим (4.12) в (4.11), затем сократим каждое уравнение нае^ (> 0) и приведем подобные слагаемые:

Система (4.13), представляющая собой однородную линейную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными ур у2 и параметром X, всегда имеет своим решением нулевое решение Yi = 0, у2 = 0, которое, однако, не удовлетворяет условиям нашей задачи, ибо в этом случае /?,(/) = 0, p2(t) = 0 не удовлетворяют начальному условию (4.10). Ненулевое решение системы (4.13) существует тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

Это уравнение (относительно X) называется характеристическим уравнением системы (4.11).

Раскрыв определитель в левой части характеристического уравнения, получим квадратное уравнение относительно X:

корни которого можно найти по теореме Виета1:

Подставив X = Х1 = -4 в систему (4.13) и решив ее, найдем у2 = -2уг Так как yt — свободное неизвестное, то ему можно придать любое числовое значение. Положим у, = 1. Тогда у2 = -2. Подставив найденные значения Х = Х1 = -4, у{ = 1, у2 = -2 в (4.12), получим

Аналогично, подставив X = Х2 = -1 в систему (4.13) и решив ее, найдем у2 = Ур откуда, полагая ух = 1, получим у2 = 1. Подставим X = Х2 = -1, у, =у2 = 1 в (4.12), в результате получим:

Виета Франсуа (1540 — 13.12.1603) — французский математик (по призванию), по профессии юрист; преобразовал алгебру как учение об алгебраических уравнениях, основанных на буквенных значениях; занимался различными задачами геометрии, приводящими к уравнениям 2-й и 3-й степеней; предложил ряд способов решений сферических треугольников; его математические сочинения были изданы посмертно в 1646 г.

Из (4.14) и (4.15) составляем общее решение системы (4.11):

где Cj и С2 — произвольные константы.

Для того чтобы найти частное решение системы (4.11), удовлетворяющее начальным условиям

надо найти соответствующие значения констант Сj и С2. Из (4.16) и (4.17):

откуда Cj = 1/3, С2 = 2/3. Подставив эти значения С{ и С2 в (4.16), получим искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.17):

Для нахождения функции p3(t) можно воспользоваться нормировочным условием (4.1), из которого

Замечание 4.1. Функцию p3(t) можно было бы найти и из третьего уравнения системы (4.9), подставив в его правую часть полученное выражение функции p2(t) и затем проинтегрировав его.

Можно убедиться в том, что найденные функции (4.18) и (4.19) являются вероятностными, т.е. что 0 <pfj) < 1, / = 1, 2, 3, t > 0.

Из (4.18) и (4.19) подсчитаем вероятность состояний системы S в момент t = 1:

Итак при заданных размеченном графе состояний счетчика банкнот TECHNITROL 940 на рис. 4.3 и начальных условиях (4.10) вероятность того, что в момент / = 1 счетчик:

  • • исправен, но не эксплуатируется, приближенно равна 0,252;
  • • исправен и находится в состоянии эксплуатации, приближенно равна 0,234;
  • • не эксплуатируется по причине неисправности, приближенно равна 0,514.

Таким образом, качество счетчика на момент t = 1 оставляет желать лучшего. ?

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

  • • Система S, в которой протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем, может перескакивать из состояния в состояние в любой случайный момент времени.
  • • Вероятность pft) /-го состояния, / = 1, ..., п, при непрерывном процессе представляет собой вероятностную функцию времени t.
  • • Для определения вероятностных функций состояний существенное значение имеют плотности вероятностей переходов из состояния в состояние, поскольку все переходные вероятности в любой момент времени равны нулю.
  • • Вероятностные функции p^t) определяются из системы дифференциальных уравнений Колмогорова (4.4).
  • • Составлять систему дифференциальных уравнений Колмогорова можно либо по размеченному графу состояний, либо по матрице плотностей вероятностей переходов.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА И ВЫРАЖЕНИЯ

Марковский дискретный процесс с непрерывным временем; вероятностные функции состояний; плотность вероятности переходов; однородный дискретный процесс с непрерывным временем; неоднородный дискретный процесс с непрерывным временем; матрица плотностей вероятностей переходов; система дифференциальных уравнений Колмогорова; размеченный граф состояний системы, в котором протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем; правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу; правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов; нормальная форма Коши; задача Коши.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

  • 1. Какой марковский дискретный процесс называется процессом с непрерывным временем и в чем его отличие от марковского дискретного процесса с дискретным временем?
  • 2. Дайте определение вероятностей состояний системы, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем.
  • 3. Что называется плотностью вероятности перехода системы из состояния в состояние? Сравните ее с переходными вероятностями.
  • 4. Дайте определение однородного и неоднородного марковского дискретного процесса с непрерывным временем.
  • 5. Определите размеченный граф состояний системы, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем. Сравните его с размеченным графом для процесса с дискретным временем.
  • 6. Сформулируйте теорему о системе дифференциальных уравнений Колмогорова. Охарактеризуйте эти уравнения.
  • 7. Сформулируйте правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу состояний системы.
  • 8. Сформулируйте правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов.

ЗАДАНИЯ К § 4

4.1. В условиях примера 4.4 найти вероятности состояний счетчика в момент t = 2 (условным временным единицам), если в начальный момент времени счетчик банкнот был исправен и находился в состоянии эксплуатации, а матрица плотностей вероятностей переходов задается следующим образом:

Замечание 4.2: Ориентиром выполнения задания 4.1 может служить пример 4.4.

4.2. При рассмотрении деятельности страховой компании за определенный период времени нас будет интересовать изменение ее начального фонда, происходящее благодаря поступлениям в компанию страховых взносов и выплатам компанией требований по страховым полисам. В связи с эти рассмотрим три состояния, характеризующиеся величиной текущего фонда, в процентах от величины начального фонда, который мы принимаем за 100%: s, — текущий фонд составляет не менее 200% начального фонда; s2 текущий фонд составляет от 100 до 200% начального фонда и, наконец, s3текущий фонд составляет менее 100% начального фонда.

Изучение деятельности компании в предшествующий период позволяет сделать заключение о том, что ее переходы из состояния в состояние характеризуются приближенно следующей матрицей плотностей вероятностей переходов, не зависящих от времени:

Обосновать, что, если страховую компанию принять за систему S, то в этой системе протекает однородный дискретный марковский случайный процесс с непрерывным временем.

Построить размеченный граф состояний системы S, записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова и наметить ход решения этой системы, если в момент, непосредственно предшествующий рассматриваемому периоду, текущий фонд компании составлял 150% от начального фонда.

Замечание 4.3. В качестве ориентира выполнения задачи 4.2 можно взять пример 4.4.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ § 4 4.1.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>