Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Сопоставление скорости роста простых и сложных процентов

Отметим прежде всего, что в настоящем параграфе используется ряд терминов из области финансов (они выделены в тексте шрифтом вразрядку); детальное пояснение всех терминов можно найти в специальной литературе и соответствующих словарях (например, [21, 22]), в том числе и электронных, размещенных в сети Интернет.

Всё многообразие видов финансовых операций, связанных с выделением ссуд, кредитованием, передачей денежных сумм в долг, ипотекой, в вычислительном аспекте сводится к расчетам по двум основным схемам начисления процентов: схеме простых процентов и схеме сложных процентов. Начисление по схеме простых процентов предполагает, что первоначальная сумма, являющаяся базой для начисления процентов, с течением времени не меняется (например, если проценты периодически выплачиваются). Начисление по схеме сложных процентов предполагает, что начисленные проценты периодически присоединяются к первоначальной сумме (происходит капитализация процентов).

Пусть Р - первоначальная сумма, на которую производится начисление процентов, i - процентная ставка (называемая также ставкой процента, нормой процента, нормой прибыли, ростом, доходностью), приуроченная к некоторому периоду начисления (обычно - 1 год). Процентная ставка может выражаться в арифметических процентах (так удобнее человеку) либо в долях единицы (так проще записывать формулы), например, 15 % или 0,15. В приводимых ниже в данном параграфе формулах процентная ставка i выражена в долях единицы и безразмерна; при исчислении процентной ставки в арифметических процентах следует провести ее пересчет в доли единицы. Через п обозначим временной фактор, характеризующий длительность финансовой операции, - количество периодов начисления в сроке начисления (например, если период начисления равен 1 кварталу, срок начисления - 1 году, то п = 4). Число п может быть дробным. Обозначим через So (и) и 5) (и) наращенные суммы, определенные по схеме простых и сложных процентов соответственно. Они рассчитываются по известным формулам

Сопоставим величины наращенных сумм, рассчитываемых по обеим схемам, в зависимости от временного фактора п. Рассмотрим отношение

и вычислим его предел:

Первый предел в полученном выражении равен 0 по свойствам показательной функции ах, где я = 1 + />1,и ах —> +оо при х —> +оо. Равенство 0 второго предела следует из соотношения (4.8) при р = 1. Таким образом,

Полученное соотношение можно трактовать так, что при больших временных интервалах простые проценты несоизмеримо меньше сложных. Это показывают и графики рассматриваемых функций, приведенные на рисунке 6.2.

Рисунок 6.2

Замечание 1. Когда срок начисления меньше периода начисления, т. е. при 0 < п < 1, простые проценты больше сложных. Этот факт можно доказать строго аналитически. Например, для п- 1/2 доказательство сводится к установлению неравенства

Возводя в квадрат обе его части, получаем равносильное неравенство

которое является очевидным и полностью доказывает требуемое свойство.

Поскольку при указанных значениях п и реальных процентных ставках различие между двумя суммами весьма мало, то на приведенном графике при выбранном масштабе этого различия не видно.

Замечание 2. Быстрый рост сумм, рассчитываемых по схеме сложных процентов, может быть проиллюстрирован рядом ярких примеров. Как известно (см. [20]), остров Манхэттен был выменян за 24 доллара. Через 350 лет (к середине 70-х годов XX века) стоимость земли на Манхэттене оценивалась в 40 млрд, долларов. Таким образом, первоначальная сумма увеличилась в 1,67 млрд. раз. Показательно, что столь огромный рост достигается при сложной годовой процентной ставке, равной всего лишь 6,25 %. Для обеспечения такого же роста по простой процентной ставке последняя должна иметь гигантское абсолютно нереальное значение.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>