Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Бесконечно малые последовательности

Рассмотрим важнейшее понятие бесконечно малой числовой последовательности; его можно представлять как свойство неограниченного уменьшения элементов последовательности, взятых по модулю, при неограниченном увеличении их номеров. Строгое определение формулируется следующим образом.

Числовая последовательность } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа е найдется такой номер N, что для всех номеров п> N выполняется соотношение

х„

Поясним данное определение. Ключевым моментом в нём является то, что число ? можно задавать сколь угодно малым. Упомянутый в определении номер N зависит, вообще говоря, от выбора ?, что часто записывается в виде N = N{?); как правило, чем меньше заданное значение ? , тем больше необходимо выбрать значение N.

Замечание 1. Убывание элементов бесконечно малых последовательностей не обязано быть монотонным. Например, последовательность

является бесконечно малой, но не является монотонной.

Среди рассмотренных выше числовых последовательностей бесконечно малыми являются только:

  • - числовая последовательность (5.4);
  • - геометрическая прогрессия (5.6) при | q < 1.

Покажем, как установить данное свойство этих последовательностей. Отметим, что приводимые здесь рассуждения аналогичны проведенным ранее в параграфе 1.2 при рассмотрении пределов функций.

Пример 1. Установим, что числовая последовательность (5.4) является бесконечно малой. Действуя по определению, выберем произвольное положительное число s и зафиксируем его. Требуемое в определении общее неравенство | хп | < ? запишется в виде

что равносильно соотношению

Выберем номер N так, чтобы выполнялось неравенство

Например, по свойству (1.1) целой части числа достаточно выбрать

очевидно, что данное значение N зависит от числа е, т. е. N = N(s). При этом для всех п> N будет выполняться неравенство (5.10):

Вместе с ним выполняется и требуемое неравенство (5.9). Тем самым бесконечная малость числовой последовательности (5.4) установлена.

Пример 2. Установим, что геометрическая прогрессия (5.6) является бесконечно малой при | q | < 1. Будем считать, что Ьф 0, иначе все элементы последовательности равны 0, и бесконечная малость очевидна. При q = 0 все члены прогрессии кроме первого равны 0, и последовательность также является бесконечно малой. Рассмотрим случай q Ф 0 . Выберем произвольное положительное число ? и зафиксируем его. Для доказательства бесконечной малости геометрической прогрессии необходимо найти такой номер N, чтобы для всех номеров п> N выполнялось неравенство

Данное неравенство равносильно каждому из следующих соотношений:

Логарифмируем по основанию q:

(при логарифмировании знак неравенства изменен по той причине, что по условию основание логарифма | q | меньше 1, а логарифм с таким основанием - убывающая функция своего аргумента). Последнее неравенство равносильно следующему:

которое запишем в виде

Выберем номер N из следующих условий:

  • 1) номер N больше значения правой части неравенства (5.12);
  • 2) номер N не меньше 1 (поскольку элементы прогрессии нумеруются начиная с 1). В силу свойства (1.1) целой части достаточно выбрать

при этом неравенство (5.12) будет выполняться для всех п> N :

Следовательно, будет выполняться и требуемое неравенство (5.11). Тем самым строго доказано, что при | q |< 1 геометрическая прогрессия (5.6) является бесконечно малой.

Замечание 2. При доказательстве бесконечной малости геометрической прогрессии с неравенством (5.11) проводятся действия, очень напоминающие ход его решения. Однако, исключительно важно подчеркнуть, что целью проводимых действий является не точное определение множества всех чисел п, являющихся решением (5.11), а лишь установление такого «порогового» значения номера N, начиная с которого это неравенство становится заведомо верным для всех п . При этом значение N может быть выбрано не точно, а «с запасом». Как правило, решение неравенства - задача гораздо более сложная, чем установление надлежащего «порога». В то же время, для столь простого неравенства, как (5.11), разница в решении неравенства и поиске порогового значения не слишком велика. Аналогичное замечание можно сделать и относительно последовательности (5.4) примера 1.

Замечание 3. В рассмотренных простых примерах нам удалось найти явное выражение для числа N в зависимости от ? ; в более сложных примерах сделать это зачастую не удается, и доказательство ограничивается лишь установлением факта существования некоторого числа N, удовлетворяющего требуемым условиям. Примеры, поясняющие данные замечания, требуют привлечения несколько более сложных аналитических средств и приведены в приложении 6.

Бесконечно малые числовые последовательности обладают следующими простыми свойствами, аналогичными свойствами бесконечно малых функций:

  • - бесконечно малая последовательность ограничена;
  • - сумма, разность и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми;
  • - произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Отметим, что частное двух бесконечно малых последовательностей может не быть бесконечно малой; например, последовательности {х„} и {Уп} при хп = уп = 1 / п являются бесконечно малыми, а частное хп / уп = 1 не является бесконечно малой последовательностью.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>