Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Эквивалентность, убывание и рост функций

Определение предела оставляет открытым вопрос о том, насколько быстро или медленно происходит стремление функции к пределу. Вводимый далее ряд понятий в некоторой степени отвечает на данный вопрос.

Всюду в данном параграфе предполагается, что рассматриваемые функции определены в некоторой проколотой окрестности точки а .

Две бесконечно малые в точке а функции называются эквивалентными, если предел их отношения в данной точке равен 1.

Совершенно аналогичное определение может быть отнесено и к бесконечно большим функциям в точке.

Формально определение эквивалентных в точке а функций /(х) и g(x) записывается в виде предела

При этом не следует забывать о требовании к функциям быть бесконечно малыми или бесконечно большими. Например, функции /(х) = 1 + х и g(x) = 1 - х в точке а = 0 не называются эквивалентными, хотя и предел их отношения равен 1; это объясняется тем, что в точке 0 эти функции не являются ни бесконечно малыми, ни бесконечно большими.

Эквивалентность функций / (х) и g(x) в точке а обозначается записью /(х) ~ g(x) , х —> а . Исходя из вычисленных выше пределов (2.2), (2.5), (2.6), (2.9), можно сказать, что в точке х = 0 справедливы следующие соотношения:

Все представленные функции являются бесконечно малыми в точке 0. Приведем примеры бесконечно больших функций, эквивалентных в точке 0:

Эквивалентность функций связана с другим менее жестким отношением между функциями.

Две бесконечно малые в точке а функции имеют одинаковый порядок малости, если предел их отношения в точке а конечен и не равен 0.

Очевидно, что функции, эквивалентные в точке, имеют в этой точке одинаковый порядок малости или роста. Обратное может и не

иметь места. Например, функции Vl + х -1 и х в точке 0 не эквивалентны, но имеют одинаковый порядок малости. Аналогичное

замечание можно сделать и для пары функций 1 - cos х и х .

Простейшими функциями, бесконечно малыми в точке а , являются степенные функции вида (х-а)", где п - целое положительное число. В сравнении с этими функциями вводятся следующие понятия.

Бесконечно малая в точке а функция /(х) имеет порядок малости, равный п, если существует конечный и не равный 0 предел

Пример 1. С учетом рассмотренных ранее пределов можно утверждать, что в точке 0 справедливы следующие свойства:

1) функции

имеют первый порядок малости;

2) функции

имеют второй порядок малости (вывод относительно последней функции следует из (4.1));

3) функции

имеют третий порядок малости (вывод относительно последней функции следует из (4.2)).

Аналогичные понятия вводятся и для бесконечно больших функций. Именно, две бесконечно большие в точке а функции имеют одинаковый порядок роста, если предел их отношения в точке а конечен и не равен 0. Далее, бесконечно большая в точке а функция /(х) имеет порядок роста, равный п, если существует конечный и не равный 0 предел

Например, функция х_3 имеет в точке 0 третий порядок роста.

Пример 2. Установим, что функция tgx имеет в точке ж 12 первый порядок роста. Действительно, данная функция является бесконечно большой в точке ж / 2 :

поскольку sin(;r/2) = 1, lim cosx = cos(;r /2) = 0. Следовательно,

х-*я!2

вопрос о порядке роста функции правомочен. Вычислим надлежащий предел, используя замену у = х - ж / 2 , простейшие свойства синуса и косинуса и первый замечательный предел:

Полученный предел конечен и не равен 0; следовательно, данная функция действительно имеет в данной точке первый порядок роста.

Замечание 1. Понятия эквивалентности, порядка малости и порядка роста функции можно аналогично определить и при одностороннем стремлении аргумента к точке, и при стремлении аргумента к бесконечности.

Задание. Предлагаем читателям самостоятельно сформулировать данные понятия.

Замечание 2. При одностороннем стремлении аргумента к точке справа (х—»я + 0) функции (х-а)п определены при любых нецелых значениях показателя п; в этом случае порядок малости и порядок роста функции могут принимать произвольные не обязательно целые значения. Например, функция х3/2 имеет при х-»0 + 0 порядок малости, равный 3/2.

Замечание 3. Следует понимать, что существуют бесконечно малые функции, которые в указанном смысле вообще не имеют определенного порядка малости. Например, рассмотрим функцию х In х , х > 0 . Она является бесконечно малой в точке 0 справа, как показано в параграфе 4.2. Если п > 0 - искомый порядок малости данной функции, то предел

должен быть конечным и отличным от 0. Рассмотрим возможные варианты. При п = 1 имеем:

Если п < 1, то, используя замену переменной z = 1 / х и предел (4.6), получаем:

Если же n > 1, то получаем произведение двух бесконечно больших функций:

Таким образом, при любых значениях п > 0 данный предел равен О либо - оо; соответственно функция х In х не обладает каким-либо порядком малости в принятом нами смысле.

ПримерЗ. Вычислим порядок малости функции (1 + л:)* -1 в точке х = 0. Вопрос правомерен, поскольку заданная функция является бесконечно малой в данной точке:

Выберем параметр п > 0, зафиксируем его значение и рассмотрим отношение

представляющее собой неопределенность вида 0 / 0. Поскольку параметр п, вообще говоря, может быть и дробным, то ограничимся только положительными значениями аргумента. Раскроем данную неопределенность по правилу Лопиталя. Для этого, используя тождество

вычислим производную числителя:

Вычисляем требуемый предел:

последнее равенство получено с учетом (2.5). Следовательно, для существования конечного отличного от 0 предела (как того требует

определение порядка малости) предел функции j_2 в точке 0 справа

также должен быть конечен и не равен 0. Это возможно только при п = 2 (при п< 2 предел равен 0, а при п > 2 равен +оо). Поскольку для целочисленного значения параметра п нет необходимости ограничиваться односторонним стремлением аргумента к точке справа, то можно рассматривать обычный предел. Таким образом,

и порядок малости данной функции в точке 0 равен 2.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>