Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Непрерывность функции на отрезке

В параграфе 1.6 были введены понятия непрерывности функции в точке и на интервале. Рассмотренные в главе 3 односторонние пределы приводят к дальнейшему важному развитию данных понятий.

Пусть функция f(x) определена в некоторой правой полуокрестности точки а .

Функция /(х) называется непрерывной справа в точке а , если она имеет в этой точке предел справа, равный значению функции в данной точке:

Аналогично дается понятие непрерывности функции в точке

слева.

Задание. Предлагаем читателям самостоятельно сформулировать соответствующее определение.

Ясно, что обычная непрерывность функции в точке равносильна непрерывности функции в точке справа и слева одновременно. Этот факт кратко можно записать в следующем виде:

Функция f{x) называется непрерывной на отрезке [с; d], если она определена на этом отрезке, непрерывна во всех внутренних точках отрезка (иначе говоря, на интервале (с; d)), непрерывна справа в точке с и непрерывна слева в точке d .

Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных на отрезке функций также являются функциями, непрерывными на данном отрезке (конечно, если знаменатель не обращается в 0 на этом отрезке).

Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных свойств. Именно, если функция /(х) непрерывна на отрезке [с; d], то:

  • - она ограничена на данном отрезке;
  • - на данном отрезке существуют точки, в которых функция принимает свои максимальное и минимальное значения;
  • - функция принимает все промежуточные значения (точнее, для любого числа b, лежащего между минимальным и максимальным значениями функции, найдется такая точка а отрезка, что /(а) = Ь).

Пример 1. Рассмотрим функцию, определенную на отрезке [0; 1] равенством

Данная функция непрерывна во всех внутренних точках отрезка (как основная элементарная), непрерывна в точке л; = 1 слева и только в единственной точке Jt = 0 теряет свойство непрерывности справа, поскольку

При этом данная функция не обладает ни одним из трех перечисленных свойств:

  • - функция не ограничена на отрезке [0; 1] сверху (график функции на интервале (0; 1) является фрагментом гиперболы, которая неограниченна на данном интервале);
  • - поскольку функция не ограничена сверху, то не существует и ее максимального значения; при этом бессмысленно говорить о точке, в которой это значение может приниматься;
  • - функция ни в одной точке не принимает значения 1/2, лежащего между /(0) = 0 и /(1) = 1.

Пример 2. Рассмотрим функцию, определенную на отрезке [0; 1] равенством

Данная функция, очевидно, непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна в точке х = 1 слева и теряет свойство непрерывности только в точке х = 0 справа, поскольку

При этом данная функция является ограниченной на отрезке [0; 1], но не обладает остальными свойствами:

- поскольку на интервале (0; 1) выполняется равенство

/(х) = х, то функция принимает сколь угодно малые положительные значения. Следовательно, ее минимальное значение - если только оно существует - может быть либо равным 0, либо отрицательным. Но данная функция всюду на отрезке [0; 1] положительна. Следовательно, у данной функции не существует минимального значения вообще и, соответственно, точки, в которой это значение принимается;

- функция ни в одной точке не принимает значения 3/2, лежащего между /(0) = 2 и /(1) = 1.

Замечание. Практически важная задача поиска максимума или минимума непрерывной на отрезке функции решается обычно средствами дифференциального исчисления и в настоящем учебном пособии не рассматривается.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>