Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕДЕЛАХ

В настоящей главе приводятся сведения, дополняющие материал по теории пределов, изложенный в предыдущих главах.

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Методы вычисления пределов, в том числе и раскрытия неопределенностей, были весьма детально изучены в предыдущих главах. Тем не менее, существуют неопределенности, раскрытие которых- если пользоваться только рассмотренными выше средствами - представляет значительные трудности. К таким неопределенностям относятся, в частности, пределы

Данную проблему во многом решает весьма мощный и изящный инструмент, называемый правилом Лопиталя [1]. Поскольку это правило опирается на использование производных функций, то изучение материала данного параграфа предполагает знакомство читателя с основами дифференциального исчисления.

Формулируется правило Лопиталя следующим образом.

Пусть функции /(х) и g(x) таковы, что:

1) они определены и имеют конечную производную всюду в некоторой проколотой окрестности точки а ;

f(x)

2) отношение -- представляет собой неопределенность вида

g(*)

О / 0 в точке а , т. е.

3) производная g'(x) отлична от 0 всюду в указанной окрестности.

Тогда, если в данной точке существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел отношения самих функций, причем эти пределы равны:

Отметим, что данное равенство - как и классические теоремы о пределах (параграф 1.5) - записано так, что из существования предела в правой части следует существование предела в левой.

Пример 1. Рассмотрим приведенные выше пределы (4.1) и (4.2). Оба они представляют собой неопределенности вида 0/0 , причем все условия применения правила Лопиталя выполняются. С помощью данного правила и с учетом пределов (2.6) и (2.2) указанные пределы могут быть вычислены, образно говоря, «в одну строчку» следующим образом:

Отметим, что вычисление данных пределов без применения правила Лопиталя является исключительно трудной задачей; некоторые из способов вычисления первого из данных пределов представлены в приложении 10.

Пример 2. Рассмотрим вычисленные ранее пределы (2.12), (2.14), (2.15). Все они представляют собой неопределенности вида 0/0 и с помощью правила Лопиталя могут быть вычислены весьма просто:

Приведем примеры бесконечных пределов, представляющих собой неопределенности вида 0/0 ; их вычисление не представляет сложностей:

(применен первый замечательный предел),

(применена замена у = х- и предел (2.5)).

Правило Лопиталя позволяет провести вычисления иным способом:

К правилу Лопиталя необходимо сделать ряд замечаний.

Замечание 1. Для применения правила Лопиталя необходимо убедиться, что под знаком предела действительно имеется неопределенность; в противном случае правило неприменимо. В качестве примера рассмотрим простейший предел

который не представляет собой неопределенность, и отношение производных числителя и знаменателя дает в пределе другое значение:

Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять многократно. Например, применительно к пределам (4.1) и (4.2) это дает:

Естественно, эти вычисления приводят к тем же результатам, что были получены выше.

по

Замечание 3. Правило Лопиталя является мощным и удобным средством, но действует оно не всегда. Иными словами, имеются такие пары функций, для которых предел отношения существует, а предел отношения производных не существует. Например, следующий предел, формально представляющий собой неопределенность вида 0/0, вычисляется элементарно:

последнее равенство справедливо, поскольку при х —> 0 функция д: является бесконечно малой, а функция синус ограничена (см. параграф 1.5, замечание 5). Рассмотрим отношение производных этих функций:

В правой части последнего равенства предел первого слагаемого вычислен только что и равен 0, а предел второго слагаемого не существует (по той же причине, что и предел, рассмотренный в примере 2 параграфа 1.3). Следовательно, предела правой части данного равенства в целом не существует; тем самым, и предела левой части равенства, т. е. предела отношения производных, также не существует.

Задание. Предлагаем читателям самостоятельно убедиться в

том, что функция cos— не имеет предела в точке 0.

х

  • [1] Гильом де Лопиталь - французский математик второй половины XVII - начала XVIII вв.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>