Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры вычисления пределов функций в бесконечности

Вычисление пределов функций в бесконечности проводится по тем же правилам, что и обычных пределов в точке. При этом часто применяются пределы элементарных функций в бесконечности, приведенные в приложении 2.

1). Вычислим предел:

Обобщая данный пример, придем к выводу, что для любого многочлена Р(х) вида (1.10) степени п > 1 справедливо соотношение

Более того, если степень п многочлена Р(х) ч е т н а я, то его предел имеет определенный знак, совпадающий со знаком старшего коэффициента рп 9*0 (см. (1.10)):

2). Вычислим предел

В соответствии с предыдущим примером дробно-рациональная функция под знаком предела представляет собой неопределенность вида оо / оо, однако она легко раскрывается путем деления на аргумент в максимальной степени знаменателя (здесь на х2):

3) . Вычислим предел:

4) . Вычислим следующий предел, деля числитель и знаменатель дроби на х2:

здесь учтено, что предел в знаменателе последней дроби равен 1.

Обобщая последние три примера, получим, что для любой дробно-рациональной функции вида (1.12) справедливо соотношение

где Р(х) и Q(x) - многочлены вида (1.10) и (1.13) степеней пит.

5) . Вычислим следующий предел посредством элементарных тождественных преобразований с учетом непрерывности степенных функций:

6) . Предел

равен 0 как предел произведения бесконечно малой при х —> оо функции Их и ограниченной функции sin л:.

7) . Вычислим предел

Функция под знаком предела определена при всех неотрицательных значениях аргумента, так что вопрос о существовании предела правомерен. Ясно, в данном случае имеет место неопределенность вида оо-оо (точнее, (+оо) - (+оо)), так что теорема о пределе разности непосредственно неприменима. Преобразуем тождественно функцию под знаком предела. Умножая и деля ее на выражение yjx + l + у[х , сопряженное к разности корней, получаем:

следовательно,

Последний предел равен 0 по той причине, что знаменатель дроби является бесконечно большой величиной:

8). Вычислим предел

Предел каждого из синусов, входящих в данное выражение, по отдельности не существует, так что теорема о пределе разности неприменима.

Задание. Предлагаем читателям самостоятельно убедиться в этом, проводя рассуждения, аналогичные проведенным в параграфе 3.1.

Воспользуемся одной из основных тригонометрических формул

в соответствии с ней преобразуем первый синус:

Следовательно, функция под знаком предела принимает вид и искомый предел равен

Поскольку Vx+T- Vx —> 0 при х —> +оо (см. предыдущий предел 7), то с помощью замены у = Vx + l -Гх получаем:

Следовательно, в выражении (3.1) оба предела равны 0 как пределы произведений бесконечно малых функций на ограниченные. Таким образом, и искомый предел также существует и равен 0. Тем самым, получен еще один содержательный пример, когда пределы слагаемых не существуют, а предел суммы - существует.

9) . Вычислим пределы в + оо, - оо и оо функции

Функция определена при всех |х|>1, так что вопрос о существовании пределов правомерен. Прежде всего, вычислим предел в + оо :

Вычислим предел в - оо; для этого учтем, что при отрицательных значениях аргумента выполняется равенство

В результате получаем:

Поскольку пределы в + оо и - оо различны, то предел данной функции в оо не существует.

10) . Вычислим предел

Функция под знаком предела определена для всех достаточно больших по модулю значений аргумента, поскольку под корнями стоят квадратичные выражения с положительными коэффициентами при старшей степени. Иначе говоря, в силу справедливости пределов

(результат аналогичен пределу 1 настоящего параграфа и уточняет его в отношении знака бесконечности) подкоренные выражения положительны для всех достаточно больших значений х. Конечно, несложно было бы и точно найти область определения данной функции, решив систему

но в этом нет необходимости - для уяснения правомерности вопроса о существовании предела проведенных рассуждений вполне достаточно. Приступим к вычислению предела, применяя деление на сопряженное выражение:

Последний предел в полученной цепочке равенств не существует, поскольку следующие два предела в + оо ив - оо различны:

следовательно, исходный предел также не существует. Отметим, что при этом существуют пределы в бесконечности определенного знака:

11). Вычислим следующий предел, деля числитель и знаменатель дроби на х 2 , проводя надлежащие тождественные преобразования и применяя теоремы о пределах:

здесь учтено, что

12) . Вычислим предел

Обсудим корректность вопроса о существовании данного предела. Область определения функции, стоящей под знаком предела, выражается соотношением х + cosx Ф 0. Решить данное неравенство в явном виде затруднительно. Однако нетрудно убедиться, что искомая область определения заведомо включает множество | х > 1. Действительно, любое число х, не входящее в область определения данной функции, обращает в 0 знаменатель дроби:

Для таких чисел

откуда следует:

Тем самым, все числа, не входящие в область определения данной функции, сосредоточены на отрезке [—1; + 1]. Следовательно, функция заведомо определена вне этого отрезка, т. е. при | х | > 1, и вопрос о существовании предела поставлен правомерно.

Сами вычисления не вызывают трудностей:

поскольку пределы в числителе и знаменателе последней дроби равны 0 (см. предел 6 данного параграфа).

13) . Вычислим предел:

При вычислении использована замена у - е~х —> 0 при х —» +оо . Самый последний предел равен 0, поскольку в знаменателе дроби стоит произведение двух бесконечно больших при х —» +оо функций, также являющееся бесконечно большой величиной.

14). Вычислим предел

Выражение под знаком предела представляет собой неопределенность вида Y°, которая может быть раскрыта выделением в основании 1 и малой добавки и соответствующим преобразованием показателя:

Следовательно,

С учетом предельных свойств степенно-показательных выражений получаем:

о 2

Здесь использована очевидная замена у =-, для которой

Ъх-1

Пт у = 0 .

Х-ЮО

15). Вычислим предел Поскольку

то выражение под знаком предела представляет собой неопределенность вида I00. Приведем его ко второму замечательному пределу. Сначала преобразуем числитель так, чтобы из дроби выделить 1:

следовательно,

Отметим, что второе слагаемое представляет собой при х —» оо бесконечно малую величину («малую добавку»), которую удобно обозначить через у :

Преобразуем показатель степени, выделяя в нём сомножитель, равный этой малой добавке:

При этом исходный предел преобразуется к следующему виду и может быть окончательно вычислен с учетом предельных свойств степенно-показательных выражений:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>