Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Второй замечательный предел

Данный предел также играет важнейшую роль в математической теории и позволяет сопоставить поведение показательной, логарифмической и линейной функций локально в окрестности точки 0. Рассмотрим степенно-показательное выражение

Данная функция определена при всех х Ф 0 , х > -1 (последнее строгое неравенство необходимо в силу того, что отрицательные числа в произвольную нецелую степень не возводятся). Ясно, что при всех значениях а из указанной области определения в силу свойств степенно-показательных выражений справедливо соотношение

Более того, точка 0 имеет проколотую окрестность, полностью входящую в область определения функции; тем самым, можно ставить вопрос о существовании предела данной функции в точке а = 0 . Вычисление соответствующего предела требует привлечения сложных аналитических средств, применение которых приводит к следующему фундаментальному результату.

Утверждение. Существует предел

Данное равенство называется вторым замечательным пределом.

Число е является важнейшей математической константой и называется основанием натуральных логарифмов, или числом Эйлера [1]. Число е является иррациональным, т.е. никакая простая или конечная десятичная дробь не может представить данное число абсолютно точно. С точностью 15 десятичных знаков (чего с избытком достаточно для решения большинства практических задач) справедливо представление

для оценочных и приближенных расчетов можно взять е ~ 2,72 . Значение числа е исключительно велико в математике. В частности, показательная функция ех (иначе называемая экспонентой и иногда обозначаемая как ехр(х)) и логарифмическая функция по основанию е (натуральный логарифм lnx = logex) имеют свойства, выражающиеся наиболее просто среди всех показательных и логарифмических функций.

Отметим, что выражение, стоящее под знаком данного предела, иногда читается как «единица плюс малая добавка в степени, обратной малой добавке».

Пример 1. Вычислим предел

Для этого преобразуем тождественно данную функцию следующим образом:

Далее проведем замену переменной у - Зх . В новом преобразованном пределе переменная у стремится к 0: у —» 0 при х —> 0, и у Ф 0 при х Ф 0 . Следовательно,

Пользуясь непрерывностью полукубической функции (т. е. степенной функции с показателем 3/2), завершаем вычисление данного предела:

Пример 2. Вычислим два следующих важных предела

Первый из них сводится ко второму замечательному пределу с использованием свойства непрерывности логарифмической функции:

Второй предел вычисляется с помощью замены у = ех -1, при которой

х = 1п(1 + у) и уФ 0 при х Ф 0 . Данная замена позволяет привести рассматриваемый предел к только что вычисленному пределу (2.5):

Более сложные примеры, вычисляемые с использованием второго замечательного предела, разобраны в параграфе 2.6.

Геометрическая интерпретация второго замечательного предела представлена на рисунке 2.3. На нём в области | х | < 0,9, | у | < 0,9 показаны графики функций у = 1п(1 + х) и

у = ех -1 (соответственно выпуклая вверх и выпуклая вниз кривые). Как видно на рисунке, в окрестности точки 0 графики обеих функций близки к прямой у = х (это свойство - непосредственная иллюстрация только что вычисленных пределов (2.5) и (2.6), тесно связанных со вторым замечательным), а в самой точке 0 обе кривые касаются данной прямой; это касание и представляет собой основной геометрический смысл второго замечательного предела.

Рисунок 2.3

Замечание1. Графики функций >> = 1п(1 + х) и у = ех-1, представленные на рисунке 2.3, симметричны относительно прямой

у = x. Это означает, что данные функции являются взаимно обратными (как, например, у = loga х и у = ах). Иначе говоря, последовательное применение двух этих функций в любом порядке приводит к исходному значению:

(подчеркиванием отмечены «внутренние» функции, первыми примененные к аргументу х). При этом, как и должно быть для взаимно обратных функций, область определения D одной функции совпадает с множеством значений Е другой функции:

Замечание 2. Важно отметить, что второй замечательный предел допускает содержательную финансовую интерпретацию, изложенную в приложении 7.

  • [1] Эйлер Леонард - выдающийся российский математик, механик и физик швейцарскогопроисхождения XVIII в.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>