Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ И РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

В настоящей главе приводятся ключевые пределы математической теории, рассматриваются основные проблемы, возникающие при вычислении пределов, разбирается широкий круг примеров.

Первый замечательный предел

Данный предел играет важнейшую роль в математической теории и позволяет сопоставить поведение синуса и линейной функции локально в окрестности точки 0. Для этого составим отношение

sin л;

9

х

полученная функция определена при всех х Ф 0. По теореме об отношении пределов и в силу непрерывности функции синус при всех а Ф 0 справедливо соотношение

Однако при а = 0 такой прием не применим (знаменатель обращается в 0), и вычисление данного предела требует привлечения существенно более сложных аналитических средств. В итоге надлежащих расчетов получается следующий фундаментальный результат.

Утверждение. Существует предел

Данное равенство называется первым замечательным пределом.

Геометрическая интерпретация первого замечательного предела представлена на рисунке 2.1. На нём в области | х | < п / 2 показан график функции у = sin х . Как видно на рисунке, в окрестности точки 0 график синуса близок к прямой у = х, а в самой точке 0 он касается данной прямой; это касание и представляет собой основной геометрический смысл данного предела.

Рисунок 2.1

Пример 1. Вычислим предел

Первый способ вычисления данного предела состоит в применении известной тригонометрической формулы

В соответствии с ней и по теореме о пределе произведения справедливы равенства

В полученном произведении пределов первый предел равен 1 как первый замечательный, а второй предел равен 1 по свойству непрерывности косинуса (см. параграф 1.6):

Таким образом, данный предел равен 2.

Второй способ вычисления данного предела состоит в замене переменной под знаком предела (см. параграф 1.5) по формуле у = 2х . Поскольку

и у =? 0 при х Ф 0, то в результате получим:

Отметим, что данный способ применим и в том случае, когда под знаком синуса вместо целочисленного множителя 2 фигурирует любое дробное число, и простые тригонометрические формулы не применимы; например,

Пример 2. Вычислим часто встречающийся предел

Применить теорему о пределе отношения непосредственно не удается, т. к. знаменатель дроби обращается в 0 при х = 0 . Используем известную тригонометрическую формулу

и проведем замену переменной вида у = х/2, в условиях которой у —> 0 при л: —> 0 :

Используем свойство непрерывности квадратичной функции и первый замечательный предел:

Окончательно получаем, что искомый предел (2.2) равен 1/2.

Более сложные примеры, вычисляемые с использованием первого замечательного предела, разобраны в параграфе 2.5.

Рисунок 2.2

Проведем рассуждения геометрического характера, которые можно трактовать как доказательство справедливости первого замечательного предела (рисунок 2.2). Предварительно напомним, что при измерении углов часто используется радианная мера. Р а д и ан (от латинского слова «radius» - спица колеса, луч) - величина центрального угла круга, соответствующего дуге, длина которой равна радиусу; 1 радиан равен примерно 57°, а точное соотношение таково: 2п радиан равно 360°. При исчислении величин углов в радианах многие свойства тригонометрических функций становятся наиболее простыми.

Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность с центром в начале координат. Вершину угла величиной а радиан, 0 < а < л / 2 , поместим в начало координат. Одну из сторон угла направим вдоль положительной полуоси Ох, вторая сторона угла представит собой некоторый луч L, проведенный в первой координатной четверти. При этом определяются три точки: А - точка пересечения оси Ох с единичной окружностью, В - точка пересечения луча L с единичной окружностью, и С - точка пересечения луча L с перпендикуляром к оси Ох, восстановленным в точке А. Координаты построенных точек: А( 1; 0), В (cos a; sin#), C(l; tga). Рассмотрим треугольники АОВ (равнобедренный), АОС (прямоугольный) и круговой сектор АОВ (граница сектора состоит из отрезков О А и О В и дуги АВ окружности); обозначим данный сектор символом « <1». Очевидно, что круговой сектор содержит треугольник АОВ и содержится в треугольнике АОС; следовательно, между площадями данных фигур имеет место соотношение:

Площади треугольников имеют следующие значения:

Площадь сектора представляется формулой

(пояснения к ней приведены в замечании, данном ниже). Следовательно,

или

Деля на sin а > 0, получаем что равносильно

Аналогичные рассуждения можно провести и для отрицательных значений а . При малых углах а, т. е. при а —> 0, справедливо: cos а —> cos 0 = 1. Следовательно, по принципу двусторонней ограниченности (см. параграф 1.5), отношение тоже стремится к 1

а

при а —> 0.

Замечание. Формулу (2.3) можно пояснить с помощью следующей таблицы площадей фигур, располагающихся в круге радиуса R.

Фигура

Угол

Площадь

Круг

Полукруг

Сектор

В графе «Угол» таблицы приведены значения в радианах центральных углов, соответствующих указанным фигурам.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>