Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПОНЯТИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ

В настоящей главе приводятся базовые сведения о пределах числовых функций и их свойствах.

Числовые множества и функции

В данном учебном пособии изучаются свойства функций, характеризующие их поведение при определенных процессах изменения аргумента. Всюду в пособии рассматриваются числовые функции, у которых и область определения, и множество значений являются числовыми множествами.

Следует отметить, что само понятие числа является первичным, изначальными, основополагающим в математике; это понятие не подлежит строгому определению и считается интуитивно ясным и понятным либо поясняется на примерах. К подобным понятиям относятся также понятия множества и элемента. Множество следует понимать как набор, совокупность, собрание элементов, сгруппированных по определенному признаку, не предполагающее обязательного наличия какой-либо внутренней структуры (в частности, упорядоченности). Множество связано со своими элементами отношением принадлежности: элементы принадлежат множеству, а множество содержит свои элементы; это обозначается записью s е S , где s - элемент, S - множество. Задаются множества либо перечислением их элементов, либо указанием правила, по которому определяется принадлежность элемента множеству. На основе этих и ряда других основополагающих понятий (точки, прямой, плоскости) строится всё здание математической науки.

Над произвольными множествами можно определить различные операции, в частности, объединение (обозначаемое символом « ») и пересечение (обозначаемое символом «п») множеств. Два множества X и Y равны, если они поэлементно совпадают; это обозначается записью X = Y. Множество X включае т с я во множество Y , если каждый элемент множества X является элементом множества Y ; это обозначается записью X a Y . Равенство X = Y равносильно справедливости двух противоположных включений ХаY и Yа X .

Исходным числовым множеством является множество натуральных чисел

используемых при счете предметов. На этом множестве известным образом определены арифметические операции сложения и умножения чисел. В то же время, операция вычитания (обратная для операции сложения) выводит за рамки данного множества; например, результат операции «1 — 2 » не является натуральным числом. Подобная «узость» множества натуральных чисел приводит к рассмотрению множества целых чисел

«расширяющего» множество натуральных чисел таким образом, чтобы операция вычитания не выводила за его пределы. При этом операция деления (обратная для операции умножения) всё ещё может выводить за рамки множества целых чисел; например, результат операции «1 / 2 » не является целым числом. Соответственно формируется более широкое множество Q рациональных чисел, представимых в виде отношений т/п , где т е Z , п е N . Данное множество можно формально записать в виде

(здесь и далее вертикальная черта в описании множеств означает «при условии, что...»). Во множестве Q операция деления не выводит за

его пределы, и каждому рациональному числу соответствует некоторая точка числовой прямой, которую можно определить простым геометрическим построением (например, на основании теоремы Фалеса[1]). Рациональные числа расположены «всюду плотно» на числовой оси, но к их множеству не принадлежат такие важные для математической теории числа, как (длина диагонали единичного квадрата) и к (длина окружности единичного диаметра). Соответственно множество Q дополняется таким образом, чтобы не только

каждому числу соответствовала некоторая точка прямой, но и наоборот, каждой точке числовой прямой можно было сопоставить некоторое число. Получаемые числа называются действительны - ми, или вещественными, а их множество обозначается через R . Связь между действительными числами и точками числовой прямой настолько тесна, что в теории пределов эти термины часто употребляются как синонимы.

Ко множеству действительных чисел R относятся все положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные числа. Действительное число можно представлять как десятичную дробь, конечную или бесконечную, вида

где а0 - целое число, ах21ъ,... - десятичные знаки, или цифры, от О до 9, показывающие, сколько десятых, сотых, тысячных и т. д. долей единицы содержит десятичная дробь (если пользоваться традиционной десятичной системой счисления). Например,

причем многоточия означают, что последовательности десятичных знаков в представлениях этих чисел не полны и имеют бесконечное продолжение.

Таким образом, построен ряд базовых числовых множеств

Для теории и практики важно, что любое действительное число можно с любой степенью точности приблизить рациональными числами. Всюду далее в данном пособии действительные числа будем называть просто числами.

В математике часто используются следующие простые числовые множества и их обозначения:

  • - числовая прямая (-00; + оо) = R ;
  • - открытые полупрямые

- замкнутые полупрямые (иначе говоря, лучи)

  • - интервал (я; b) = (х е R а < х < Ь};
  • - отрезок [a; b] = {х g R а < х < Ь};
  • - множества вида (а; Ъ] и [я; Ъ) , часто называемые полуот- резками;

здесь а и b - некоторые числа, а <Ь.

В теории пределов используются также следующие простые множества со специальными названиями. Пусть а - некоторое число (точка на числовой оси). Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку (возможно, несимметричный). Иначе говоря, окрестность точки а имеет вид (аа"), где числа а' и а” таковы, что а! <а<а" . Проколотой окрестностью точки а называется любая ее окрестность, из которой исключена сама точка а. Другими словами, проколотая окрестность представляется в виде (a; a) U (а; а") , где а' <а <а" . Правой полуокрестностью точки а называется множество вида [я; а"), где я < а" . Левой полуокрестностью точки я называется множество вида (я'; я], где а' < а . Далее, ? -окрестностью точки я называется симметричный интервал вида (я - s а + ?), где ? > 0 - некоторое число (? - греческая буква «эпсилон»). Отметим, что через ? в теории пределов традиционно принято обозначать некоторое положительное число, которое в различных рассуждениях можно выбирать сколь угодно малым, т. е. близким к 0.

Точка называется внутренней для некоторого множества, если существует окрестность данной точки, целиком располагающаяся в данном множестве. Точка называется граничной для некоторого множества, если в любой окрестности данной точки существуют точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие данному множеству. Например, для интервала (0; 1) и отрезка [0; 1] внутренними являются все точки самого интервала (0; 1), а граничными - точки 0 и 1; как видно из этого примера, граничные точки некоторого множества могут как принадлежать, так и не принадлежать данному множеству.

Числовое множество называется ограниченным сверху (ограниченным снизу), если существует такое число М (число т), что каждый элемент х данного множества удовлетворяет неравенству х <М (неравенству х>т). Числовое множество называется ограниченным, если оно является ограниченным одновременно сверху и снизу. Числовое множество называется неограниченным, если оно не является ограниченным.

В настоящем учебном пособии широко используются следующие функции:

  • - степенные ха;
  • - показательные ах;
  • - логарифмические loga х ;
  • - тригонометрические sin л:, cos х, tg х, ctg х;
  • - обратные тригонометрические

arcsin х, arccosx, arctg х , arcctgx ;

указанные функции называются основными элементарными функциями. Предполагается, что читатель знаком с этими функциями и их свойствами из уже пройденных курсов математики. Полезно понимать, что показательная функция характеризует такие процессы, при которых скорость изменения некоторой величины прямо пропорциональна значению самой величины. Тригонометрические функции характеризуют периодические и сезонные явления и процессы. Оба типа процессов имеют широкое распространение в естествознании, технике и экономике. Отметим также, что функции могут иметь различное аналитическое представление (т. е. могут быть заданы разными формулами) на различных подмножествах своей области определения; например, функция «модуль числа» задается в виде

Оперируя с функциями, необходимо контролировать их области определения; они могут быть весьма экзотичны. Например, функция V-х2 определена только при х = 0, область определения функции л/lncos* представляет собой бесконечное множество изолированных точек вида х = 2лп, neZ, а выражения 1п(-х2),

ln(sinx-l) и 1/ л/cosjc-I вообще не определены ни при каких значениях переменной (т. е. соответствующие формальные записи не представляют собой каких-либо функций). Область определения функции f (х) часто обозначается через D(f) , множество значений функции - через Е{/) . Записывая формально,

Функция /(х) называется ограниченной сверху (ограниченной снизу) на множестве X cz D{f), если множество {/(х) | х е X} является ограниченным сверху (снизу). Функция называется ограниченной, если она является ограниченной одновременно сверху и снизу. Функция, не являющаяся ограниченной на множестве X , называется неограниченной на множестве X .

Функция /(х) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X , если для любых двух значений аргумента х'е! и х" е X, связанных неравенством х' < х", выполняется соотношение /(х')< fix") (соотношение /(х')> fix")). Неубывающие и невозрастающие функции называются общим термином монотонные. Если неравенства в определении монотонности являются строгими, то такие функции называются возрастающими {убывающими), или строго монотонными.

В дальнейшем нам потребуются следующие простые функции. Прежде всего, для любого натурального числа п определяется факториал п как произведение всех целых чисел от 1 до л включительно:

по определению принимается, что 0! = 1. Далее, функция аргумента х, называемая целой частью числа и обозначаемая через [х], определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х; иными словами, выполняются неравенства

Следовательно, для любого числа х значение [х] +1 представляет наименьшее целое число, большее х. Полезным является и следующее свойство: [х+1] = [х] + 1. Наконец, символами min{a;b} и max (а; Ь} будем обозначать минимальное (наименьшее) и максимальное (наибольшее) среди двух чисел а и b .

В отдельных рассуждениях мы будем использовать знаки логического следования «=>»и равносильности «<=>»; например, х>1=>х>0, х>1<=>х-1>0.

  • [1] Фалес Милетский - древнегреческий математик, астроном и философ VII-VI вв. до н. э.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>