Элементы теории игр. Применение методов теории игр в задачах организации труда
Основные понятия теории игр
При решении экономических задач часто приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные цели. Такого рода ситуации называются конфликтными. Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников. Существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной; если таких коалиций две, то игра сводится к парной.
На промышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов трудовых ресурсов, сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор посева одной из возможных культур, урожай которых зависит от погоды, если известна цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков является сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим — природа.
Решение подобных задач требует полной определенности в формулировании их условий (правил игры): установлении количества игроков, выявлении возможных стратегий игроков и возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш).
Важным элементом в условии игровых задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор действий данного игрока. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы —
чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.
Весьма важными являются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отражение в определении решения игры, стратегии Р* и Q* первого и второго игроков соответственно называются их оптимальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для любых стратегий Р первого игрока и любых стратегий Q второго игрока выполняются неравенства
где М(Р, Q) означает математическое ожидание выигрыша (средний выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игроками избраны соответственно стратегии Р и Q.
Из неравенств (5.36), в частности, следует что V = М(Р*, Q*), т.е. цена игры равна математическому ожиданию выигрыша первого игрока, если оба игрока изберут для себя оптимальные стратегии.
Одним из основных видов игр являются матричные игры, которыми называются парные игры с нулевой суммой (один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой) при условии, что каждый игрок имеет конечное число стратегий. В этом случае парная игра формально задается матрицей А = (ау), элементы а у которой определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет /-ю стратегию (г = 1, т), а второй — j-ю стратегию (J = 1, п). Матрица А называется матрицей игры, или платежной матрицей.
Рассмотрим построение платежной матрицы на примере.
1> Пример 5.7. На базе торговой фирмы имеется п типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j (j = 1, и) будет
пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль pj. Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток qj. Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.
Решение. В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин, а второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по п стратегий. Завоз /-го товара — /-я стратегия первого игрока, спрос на j-й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы л-го порядка:
