Многофакторная линейная регрессионная модель

Рассмотрим двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (jq) и размера семей (х₂)- Как уже отмечено выше, множественный (многофакторный) корреляционно-регрессионный анализ решает три задачи: 1) определяет форму связи результативного признака с факторными, 2) выявляет тесноту этой связи и 3) устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае данная модель имеет вид:

Параметры модели 0q, а и 0₂ можно найти, решив систему нормальных уравнений:

Используя данные табл. 3.10, получим систему нормальных уравнений в виде:

Решая данную систему (например, методом Гаусса), получим: 0о = -192,0; 01 = 0,072; 0₂ = 344,9, так что модель (3.26) имеет вид:

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции г^, г^, г_хл. Например,

где черта над символами означает среднюю арифметическую, a S_y и S_x< — средние квадратические ошибки соответствующих выборок из табл. ЗЛО:

Аналогичный вид имеют формулы для и r_w

После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции

который колеблется в пределах от 0 до 1. Чем ближе коэффициент множественной корреляции к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

В нашем примере расчеты дают следующее значение коэффициента множественной корреляции: R-_x^ = 0,983, что выше значения коэффициента корреляции в случае однофакторной модели. Таким образом, степень тесноты связи расходов на питание с факторами душевого дохода и размера семей является очень высокой.

Величина называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков. В нашем примере R^^ =0,966. Это означает, что совместное влияние душевого дохода и размера семей объясняет почти 97% изменения расходов на питание.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком Х при неизменном значении факторного признака Xj рассчитывается по формуле

где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (3.28).

Аналогично рассчитывается частный коэффициент корреляции г^₂( ) между результативным признаком у и факторным признаком

*2 при неизменном значении факторного признака х. Для рассматриваемого признака частные коэффициенты корреляции расходов на питание от душевого дохода и размера семей составляют

т.е. теснота связи между расходами на питание и одним из исследуемых факторов при неизменном значении другого является весьма значительной.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого. В нашей задаче

Следовательно, влиянием душевого дохода при неизменном размере семьи объясняется почти 86% изменения расходов на питание, а изменение размера семьи при неизменном душевом доходе объясняет более 72% изменения расходов на питание.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (3.26) рассчитываются по формулам:

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю арифметическую. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

В рассматриваемом примере «1 = 0,072; «2 ⁼ 344,9; у = 1313,9;

Зс, = 6080,6; х₂ — 3,1, следовательно, по формулам (3.31) получим:

Это означает, что при увеличении душевого дохода на один процент и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,333%, а увеличение (условное) на 1% размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к возрастанию расходов на питание на 0,814%.

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета-коэффициентов, которые для двухфакторной модели (3.26) задаются формулами:

Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.

В рассматриваемой задаче а = 0,072; aj = 344,9; S_y = 673,8; S_Y = 4242,0; S_x = 0,79, так что расчеты по формулам (3.32) дают

следующие значения частных бета-коэффициентов:

Это означает, что при неизменном составе семей увеличение на величину среднеквадратического отклонения размера душевого дохода приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,45 их среднеквадратического отклонения, а при неизменном душевом доходе увеличение размера семей (условного) на величину его среднеквадратического отклонения — к возрастанию расходов на питание на 0,40 их среднеквадратического отклонения.