Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия - величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех п материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью со, то линейная скорость i-Pi точки и( = юЛ(, /?, - расстояние до оси вращения. Следовательно,

Сопоставив (7.4.1) и (7.4.2), можно увидеть, что момент инерции тела J является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса т- мера инерции при поступательном движении.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью нс и вращательного с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела

Здесь Jc - момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Применение закона сохранения энергии при скатывании тел с наклонной плоскости

При скатывании тел (например, обруча, сплошного цилиндра, шара) с наклонной плоскости считаем, что скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно геометрической оси и при движении не возникает скольжения (рис. 7.12).

Пусть с наклонной плоскости высотой h без скольжения скатываются: обруч; сплошной цилиндр; шар. Определим скорости, которые будут иметь тела у основания наклонной плоскости. Радиусы тел равны R.

При скатывании тела с наклонной плоскости согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия тела переходит в кинетическую энергию поступательного движения со скоростью ц центра масс и

кинетическую энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс:

где т - масса тела, У - момент инерции тела. Учитывая, что получаем

Скатывание тела с наклонной плоскости

Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости

Тогда искомая скорость тел о = -——.

1. Для обруча J =mR2, где о = *Jgh.

„ ГГ 7 mRl Л [&

  • 2. Для сплошного цилиндра J = —,г) = 2J —.
  • 2 Дор/г
  • 3. Для шара J = -mR2,v = J ^ .
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >