ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Любое движение твердого тела сводится к поступательному и вращательному. Это означает, что произвольное движение можно представить в виде суперпозиции поступательного движения тела, характеризуемого движением любой его точки (центра масс), и вращения тела вокруг этой точки (т. е. вокруг осей проходящих через неё).

Вращательное движение твердого тела относительно точки

Рассмотрим твердое тело как некую систему (рис. 7.1), состоящую из п точек (mi m2 ... m„); i; - радиус-вектор i-й точки, проведенный из точки О - центра неподвижной инерциальной системы отсчета. Обозначим F,. - внешняя сила, действующая на /-ю точку, ?jk - сила действия со стороны к-й точки на г-ю.

Вращение системы материальных точек вокруг точки О - центра неподвижной инерциальной системы отсчета

Рис. 7.1. Вращение системы материальных точек вокруг точки О - центра неподвижной инерциальной системы отсчета

Запишем основное уравнение динамики для точки (см. п. 3.6):

Умножим обе части этого уравнения векторно на ij:

Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда

Векторное произведение г; точки на её импульс называется моментом импульса (количества движения) L/ этой точки относительно точки О:

Для материальной точки массой т момент импульса

Три вектора в (7.1.1) образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика» (рис. 7.2).

Три взаимно перпендикулярных вектора L=[^,p]

Рис. 7.2. Три взаимно перпендикулярных вектора L=[^,p(];

Величина момента импульса |l,.| - Ц - рд sin a - pi

Рис. 7.3. Величина момента импульса |l,.| - Ц - рд sin a - pi

U = РА

Направление вектора L, ортогонально плоскости, в которой лежат векторы ^ир(., а величина этого вектора

где / = rsina - плечо импульса (рис. 7.3).

Векторное произведение г, проведенного в точку приложения силы, на эту силу, называется моментом силы М( (рис. 7.4):

Пусть /, - плечо силы F, (рис. 7.5). Т. к. sin(l 80 - a) = sin a, то

С учетом новых обозначений

—* _^ —?

Рис. 7.4. Момент силы NT = [ r,F]

Модуль момента силы М,| = Л/,. = Fr sin а - F

Рис. 7.5. Модуль момента силы М,| = Л/,. = Firt sin а - Fi

Запишем систему п уравнений для всех точек системы и сложим их левые и правые части:

Здесь сумма производных равна производной суммы:

—? —?

где L - момент импульса системы, М - результирующий момент всех внешних сил относительно точки О.

Так как

Отсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела, вращающегося вокруг точки.

Это выражение называется уравнением моментов.

Момент импульса системы L является основной динамической характеристикой вращающегося тела.

Из сравнения этого уравнения с основным уравнением динамики поступательного движения (п. 3.6),

видно их внешнее сходство.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >