Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Множества, алгебраические операции, группы, кольца, поля Простые и двойные суммы Перестановки и подстановки СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) Определители Свойства определителей Миноры и алгебраические дополнения Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа Вычисление определителей Крамеровские системы Упражнения МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Первоначальные сведения о матрицах Сложение матриц и умножение матрицы на число Линейные комбинации столбцов (строк) Умножение матриц Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы Обратная матрица Простейшие матричные уравнения Разложение квадратной матрицы на треугольные множители Упражнения ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства Линейная зависимость векторов Ранг матрицы. Скелетное разложение матрицы Базис и размерность пространства Связь между базисами линейного пространства Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису Изоморфизм линейных пространств Системы линейных уравнений (общая теория) Однородные системы линейных уравнений Связь между решениями однородной и неоднородной систем Линейные подпространства Упражнения ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Определение и примеры линейных операторов Линейные операторы и матрицы Выражение координат вектора-образа через координаты вектора-прообраза Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах Действия с линейными операторами Характеристический и минимальный многочлен Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Линейные операторы простой структуры Упражнения КАНОНИЧЕСКАЯ ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ Жорданов базис Построение жорданова базиса и жордановой матрицы Второй способ построения жордановой и трансформирующей матриц Третий способ построения жордановой и трансформирующей матриц К построению минимального многочлена Упражнения ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра Функции от матриц Спектральное разложение матрицы f(A) Представление функций от матриц рядами Некоторые приложения функций от матриц Упражнения ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение евклидова пространства. Матрица Грама Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации Ортонормированные базисы Ортогональные матрицы Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство Изоморфизм евклидовых пространств Понятие об унитарном пространстве Сопряженные операторы в евклидовом пространстве Симметричные (самосопряженные) операторы Ортогональные операторы Произвольные линейные операторы в евклидовом пространстве Сопряженные операторы в унитарном пространстве Эрмитовы операторы Унитарные операторы Нормальные операторы Произвольные линейные операторы в унитарном пространстве QR-разложение матрицы Сингулярное разложение матрицы Полярное разложение матрицы Псевдообратная матрица Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов Метод регуляризации для систем линейных уравнений Нормы векторов и матриц Оценка погрешности решения системы линейных уравнений Отыскание устойчивого решения системы уравнений Рекомендации к решению систем линейных уравнений на компьютере Упражнения КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Определение квадратичной формы Линейное преобразование переменных Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных Приведение квадратичной формы к каноническому виду Закон инерции квадратичных форм Знакоопределенные квадратичные формы Распадающиеся квадратичные формы Квадратичные формы в евклидовом пространстве Пары квадратичных форм Квадратичные формы в комплексном линейном пространстве Упражнения ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод итераций Метод Зейделя Приведение линейной системы к виду, удобному для итераций Упражнения О ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДАХ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ Метод вращений (метод Якоби) QR-алгоритм Степенной метод Метод скалярных произведений Упражнения ЭЛЕМЕНТЫ П-МЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Аффинные пространства Координаты в аффинном пространстве Плоскости в аффинном пространстве Гиперповерхности второго порядка Точечно-векторное евклидово пространство Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве Упражнения