Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения

Пусть X— дискретная случайная величина, которая при выборке объема п получила значения х{, Xj,..., хп. Допустим, что известен вид закона распределения вероятностей, но неизвестен параметр 0.

Обозначим через /?(х,,0) вероятность того, что величина X принимает значения xi(i= 1, ..., п).

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины называют функцию

Точечной оценкой параметра 0 считается такое значение 0*, при котором функция L принимает наибольшее (максимальное) значение. Эту оценку называют оценкой наибольшего правдоподобия.

Так как функции L и In L принимают наибольшее значение при одном и том же 0, то оценку 0* ищут на основе максимизации функции In L. Для этого функцию исследуют на максимум с помощью необходимого, а иногда и достаточного условий экстремума.

Этот метод эффективен в случае малых выборок, но часто требует довольно сложных вычислений.

Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра X в распределении Пуассона

на основе проведенных опытов.

Будем называть опытом группу из п испытаний. При этом в каждом опыте фиксируется число появлений рассматриваемого события. Пусть таких опытов будет к. Тогда число появлений события в /-м опыте будет тг Подставляя полученное значение mi в формулу Пуассона, получаем

Эти вероятности для всех / = 1, ..., к подставим в функцию правдоподобия

Находим логарифм этой функции

Возьмем первую производную по А, и приравняем ее к нулю:

Откуда

Итак,

„ flf2lnl v mi

Если взять вторую производную -~ = ~2j2’ т0 ока"

d,X /=i X

жется, что она отрицательна. Это значит, что полученное значение X максимально.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >