Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Из теоремы об изменении кинетического момента (18.10) относительно неподвижной оси Oz имеем

Для краткости будем в дальнейшем величину М называть вращающим моментом.

Подставив в предыдущее равенство значение кинетического момента твердого тела по формуле (18.5), найдем

Уравнения (20.1) представляют собой разные формы дифференциального уравнения вращательного движения твердого тела. Его можно представить и в таком виде:

т. е. произведение момента инерции тела относительно оси вращения на его угловое ускорение равно вращающему моменту.

Уравнение (20.1) позволяет: 1) зная закон вращения тела, найти вращающий момент; 2) зная вращающий момент, найти cp =f[t), т. е. закон вращения, или законы изменения величин со и s. В частных случаях: 1) если М — 0, то со = const, т. е. тело вращается равномерно; 2) если М = const, то г = const, т. е. тело вращается равнопеременно.

Вследствие полной математической аналогичности уравнений

(20.1), (20.2) и уравнения (13.4) второго закона Ньютона их решение проводится теми же методами, которые были рассмотрены в гл. 13.

Сопоставим физический смысл величин, участвующих в уравнениях (13.4) и (20.2): в правой части — мера действия (сила, момент силы относительно оси), в левой части — произведение меры инертности тела в соответствующем движении на ускорение (та, Jze).

Следовательно, момент инерции тела относительно оси есть мера инертности тела при его вращении вокруг этой оси.

Задача 20.1. Твердое тело из состояния покоя приводится во вращение вокруг вертикальной оси Oz, закрепленной в подшипниках, парой сил, момент М которой остается постоянным при дальнейшем движении тела. Найти закон изменения угловой скорости и уравнение движения тела, если известно, что при движении на него действует момент сил сопротивления, пропорциональный угловой скорости со, т. е. Д/сопр = роз. Момент инерции тела относительно оси Oz равен /.

Решение. Применим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

Сила тяжести и реакции подшипников не создают моментов относительно оси Oz, и, следовательно, считая положительными моменты, направленные в сторону вращения, получим

Разделив переменные ии/, возьмем от обеих частей равенства определенные интегралы (учитывая, что начальные условия: при /0 = 0 оз0 = 0):

отсюда

Разрешая полученное равенство относительно оз, находим закон изменения угловой скорости:

Полученная зависимость показывает, что угловая скорость тела со временем будет возрастать, стремясь к предельному значению озпр = М/х.

Заменив в равенстве (б) оз на d(p/dt, разделив переменные ф, t и интегрируя (считая при t{) = 0 ф() = 0), найдем уравнение вращательного движения тела

Ответ: искомые зависимости представлены равенствами (б) и (в).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >