Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются во время движения неподвижными (рис. 7.2). Эта прямая называется осью вращения. Траекториями всех точек, не лежащих на оси вращения, будут окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Отметим также, что все прямые тела, параллельные оси вращения (например, прямая тт' на рис. 7.2), движутся поступательно, оставаясь параллельными этой оси.

Рис. 7.2

Проведем через ось вращения Az (см. рис. 7.2) две полуплоскости: полуплоскость П, твердо связанную с телом и вращающуюся вместе с ним, и неподвижную в пространстве полуплоскость П0. Тогда положение тела в любой момент времени определяется взятым с соответствующим знаком углом (р между этими полуплоскостями, который называется углом поворота тела. Угол считается положительным, если он отсчитан от неподвижной полуплоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с острия оси Az), и отрицательным, если он отсчитан по ходу часовой стрелки. Измеряется угол ф в радианах.

Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла ф от времени /, т. е.

Уравнение (7.3) выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Угловая скорость и угловое ускорение тела

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость со и угловое ускорение е.

Угловая скорость характеризует быстроту изменения со временем угла поворота тела; ее алгебраическое значение, равное проекции вектора со на ось вращения z, определяется первой производной от угла поворота по времени

Знак со определяет направление вращения: если со > 0, то вращение происходит против хода часовой стрелки, если со < 0, то

по тело вращается по ходу часовой стрелки (при взгляде с острия оси вращения z)• В соответствии с этим угловая скорость со изображается в виде дуговой стрелки (см. рис. 7.2). Размерность угловой скорости угол/время; единица измерения рад/с или с-1.

В технике угловую скорость часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через п, об/мин. Так как за один оборот тело поворачивается на угол 2л, а 1 мин = 60 с, то со = 2ля/60 = ля/30 — 0,1 п.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора со, модуль которого равен |ф| и который направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (см. рис. 7.2, 7.3).

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения с течением времени угловой скорости тела; его числовое (алгебраическое) значение равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени

Размерность углового ускорения угол/время ; единица измерения рад/с2 или с-2.

При совпадении знаков е и со их дуговые стрелки направлены одинаково (рис. 7.3, а), при разных знаках — дуговые стрелки будут направлены взаимно противоположно (рис. 7.3, б). Угловое ускорение тела можно изобразить в виде вектора г, направленного вдоль оси вращения. При этом

Когда тело вращается ускоренно, то величины со и 8 имеют одинаковые знаки и направление вектора е совпадает с направлением вектора со (см. рис. 7.3, а). Когда тело вращается замедленно, то величины со и е имеют разные знаки и векторы со и е направлены вдоль оси вращения в противоположные стороны (см. рис. 7.3, б). Точка приложения векторов со и ё — любая точка оси вращения (эти векторы — скользящие).

Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (со = const), то вращение тела называют равномерным. Интегрируя обе части равенства dq> = соdt (считая при этом, что в начальный момент времени t0 = 0, ф = ср0), получим закон равномерного вращения тела

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (е = const), то вращение называют равнопеременным.

Интегрируя обе части равенства dco = е • dt (считая при этом, что в начальный момент времени t0 = 0, со = со0), получим

Представив это выражение в виде dy/dt= оо0 + st или d(p = = со0dt + stdt и интегрируя обе его части, найдем закон равнопеременного вращения тела

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >