Решение задач

Задача 6.1. Закон движения точки М в плоскости ху задан уравнениями х 4 sin( 7Т//6) — 1, у = 3 cos(ti//6) + 2 (где х, у в сантиметрах, /—в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени tx = 2 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Траекторию и найденные векторные величины изобразить на чертеже.

Решение. Уравнение траектории точки будем искать в виде зависимости между координатами точки. Для исключения из уравнения движения времени /, которое входит в аргументы тригонометрических функций, используем формулу

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (а). Получим

следовательно,

Таким образом, траекторией является эллипс, центр С которого имеет координаты (—1, 2), а размеры полуосей, параллельных осям хи у, соответственно 4 и 3 см (рис. 6.8, а).

Рис. 6.8

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

Подставив эти выражения в формулу

после упрощений получим для модуля скорости точки:

При Г, = 2 с Vlx = 1,05 см/с, Vly — —1,36 см/с, V{ = 1,72 см/с. Используя полученные результаты, построим на чертеже вектор Vh предварительно определив координаты точки Мх : хх = 2,46 см, ух = 3,5 см (рис. 6.8, а).

Теперь найдем ускорение точки:

и при tx — 2 с аХх —0,95 см/с2, аХу —0,41 см/с2, ах 1,02 см/с2.

По этим результатам строим вектор я, (рис. 6.8, б).

Заметим, что так как движение точки было задано координатным способом, то величины скорости и ускорения были определены по проекциям этих величин на координатные оси.

Теперь определим касательное и нормальное ускорения точки, т. е. проекции вектора а на оси естественного трехгранника.

Продифференцировав по времени равенство (в), получим

Если учесть, что выражение в скобках является скалярным произведением V а, то, обозначив угол между этими векторами через у, получим

Величина V, определяемая по формуле (д), является ау проекцией ускорения а на направление вектора V. Если знак ау положителен — движение ускоренное, если отрицателен — замедленное. При разложении а на составляющие по осям естественного трехгранника аху.

Подставив в формулу (д) числовые значения величин для г, = 2 с, получим а= —0,26 си/с Знак «минус» указывает, что вектор аХУХх) противоположен вектору V (см. рис. 6.8, б), движение точки замедленное.

Нормальное ускорение точки при известных значениях величин йийт вычислим по формуле ап = 22 .

Подставив значения ах, аХх, получим аХп 0,98 см/с .

Изобразим на рис. 6.8, в составляющие аХх и аХп, которые найдем путем разложения ранее определенного вектора ах на направления касательной (прямая, на которой лежит вектор Vx) и главной нормали.

2

Радиус кривизны траектории определим по формуле р = V /ап. Подставив числовые значения Vx и аХп, найдем, что р, = 3,0 см. Ответ: F| = 1,72 см/с, ах = 1,02 см/с2, аХх = —0,26 см/с2, аХп = 0,98 см/с2, Р[ = 3,0 см.

Задача 6.2. Материальная точка начала д^жение в вертикальной плоскости из некоторой точки О со скоростью V0, образующей с горизонтальной осью л: угол а. Ее движение по отношению к системе отсчета Оху (рис. 6.9) задано уравнениями:

где g — постоянная величина.

В дальнейшем увидим, что такими будут уравнения свободного движения материальной точки при отсутствии сопротивления воздуха.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки в любом положении, а также высоту траектории и время подъема из начального положения до наивысшей точки траектории.

Решение. Для определения траектории нужно получить зависимость между координатами * и у движущейся точки. Определив из первого уравнения t = х/( V0 cos а) и подставив во второе, получим уравнение траектории

Рис. 6.9

Траектория точки — часть параболы (см. рис. 6.9).

Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем:

откуда

Теперь определим высоту траектории движения, т. е. координату уА наивысшей точки (см. рис. 6.9). Так как VA = 0, то, подставив это значение во второе равенство (б), найдем время движения из точки О в точку А (время подъема): tA = V0 sin a/g. Подставив значение t = tA во второе из заданных уравнений движения, после упрощений получим высоту траектории:

Определяем ускорение точки. Для проекций ускорения а на координатные оси имеем:

Следовательно, модуль ускорения точки а =g, аОу, а = const.

Таким образом, точка движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным вертикальной оси Оу (g — это ускорение свободного падения). Обращаем внимание на то, что хотя здесь а = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременное™ движения является не а = const, а ах = const. В рассматриваемом движении направления оси т и вектора V совпадают (т.е. Vx > 0), поэтому ах - a v.

Находим ах, дифференцируя выражение (в):

На участке подъема (от точки О до точки А) движение будет замедленным (ах < 0, см. положение Мх на рис. 6.9: векторы ах и V направлены противоположно), а на участке спуска — ускоренным х > 0, см. положение М-, на рис. 6.9: векторы ах и V направлены в одну сторону).

Упражнения для самостоятельной работы

  • 1. В чем различие понятий «криволинейная координата s точки» и «пройденный ею путь ст»?
  • 2. Зависит ли направление орта т касательной к траектории от направления движения точки?
  • 3. Какие изменения вектора скорости характеризуют касательное и нормальное ускорения?
  • 4. Может ли равномерно движущаяся точка иметь ускорение?
  • 5. Одинаковы ли понятия «движение точки с ускорением» и «ускоренное движение точки»?
  • 6. Как определить, является движение точки ускоренным или замедленным?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >