Математическое описание САР и их динамические характеристики

Процессы, происходящие в автоматических системах, описываются в установившихся режимах при помощи алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами, в неустановившихся режимах - дифференциальными и интегрально-дифференциальными уравнениями. Так как уравнения статического режима можно получить как частный случай уравнений динамики, то остановимся на рассмотрении методов математического описания САР в динамическом режиме.

В общем случае неустановившийся процесс в САР может быть описан дифференциальным уравнением вида

где у - регулируемая величина; х - внешнее воздействие.

В теории автоматического регулирования получила распространение запись дифференциальных уравнений в алгебрализи- рованной форме. Алгебрализация уравнений позволяет ввести понятие передаточной функции и упростить анализ автоматических систем. При нулевых начальных условиях алгебрализация дифе- ренциальных уравнений осуществляется путем формальной замены знака операции дифференцирования символом б/сй = р. При этом справедливы равенства:

В теории операционного исчисления доказывается правомерность такой замены. Оператор р в этом случае выступает в роли коэффициента, которому можно придавать значения числа и производить над ним любые действия. Дифференциальное уравнение динамики САР в алгебрализированной форме имеет вид

Множитель при х называется оператором воздействия, а множитель при у - собственным оператором. Отношение двух названных операторов

называется передаточной функцией и обозначается У(р). Передаточная функция является математическим выражением динамических свойств элементов.

Поведение САР в установившихся и динамических режимах существенно зависит от того, как изменяются во времени внешние воздействия, приложенные к системе. Так как реальные законы изменения внешних воздействий заранее неизвестны, т.е. представляют собой случайные функции времени, то при исследовании САР используют так называемые типовые законы изменения внешних воздействий. Этим воздействиям соответствуют типовые динамические характеристики. В качестве типовых принимают либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения задающего и возмущающего воздействий.

Для оценки динамических свойств САР применяются переходные и частотные характеристики, которые изображают реакцию системы на ступенчатое 1, импульсное 2 и гармоническое 3 типовые воздействия (рис. 192). Переходные характеристики изображают изменение во времени выходной величины при ступенчатом входном воздействии вида

где а и Ь постоянные уровни воздействия.

Обычно переходные характеристики САР снимаются при единичном ступенчатом воздействии

когда входная величина изменяется скачком от 0 до 1 и затем остается постоянной. Единичный скачок в момент ^ записывает-

Рис. 192.

ся в виде 1(1 - 1;₀). Реакция системы на ступенчатое воздействие х(1;) = 1(1) называется переходной функцией Ь(1). Она может быть определена экспериментально или в результате решения дифференциального уравнения системы а(р)Ь(1) = Ь(р) 1(1). Воспользовавшись преобразованием Лапласа, получаем

Импульсное возмущение - возмущение, полученное как последовательность двух одинаковых по величине, но противоположных по знаку ступенчатых возмущений, сдвинутых во времени на величину, обратную величине их интенсивности. Особое значение имеет единичная импульсная функция, или дельта-функция, обозначаемая 8(1 -1₄), равная нулю при 1 > 0,1 < 0 и бесконечности - при 1 = 0. Площадь, ограниченная ею, равна единице, т.е.

При единичном импульсном входном воздействии получают импульсные переходные характеристики (характеристики веса)

Для исследования автоматических систем удобно использовать гармоническое возмущение, изменяющееся периодически во времени,

где х_о - амплитуда колебания входного сигнала; со - круговая частота колебаний.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний на выходе системы или звена будут зависеть от частоты синусоидального воздействия на входе. Характеристики, показывающие эту зависимость, называются амплитудной частотной (АЧХ) и фазовой частотной. Однако для исследования переходного процесса более удобен метод построения совмещенных графиков амплитуд и фаз на комплексной плоскости. Эти совмещенные графики называются амплитудно-фазовыми частотными характеристиками (АФЧХ).

где ф - угол запаздывания в передаче сигнала.

Поскольку при х_о = const выходные амплитуда у_о и фаза ф при изменении частоты входного сигнала зависят от динамических свойств системы, то отношение этих величин

представляет собой частотную характеристику системы и имеет общий вид

Функция А(со) представляет амплитудную частотную характеристику (АЧХ), а функция ф(со) - фазовую частотную характеристику (ФЧХ).

Исследования САР значительно упрощаются, если использовать логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, а по оси ординат - выходная амплитуда в децибелах, равная L(w) = 201gA(oo). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) масштаб по оси абсцисс остается логарифмическим, а значения фазы по оси ординат откладываются в градусах или радианах.