Модель временного ряда

При использовании временных рядов процесс исследуется в зависимости от времени. Наблюдение за процессами, меняющимися во времени, дает временной ряд Г(^), Y(t2), У(/з), Y(tn). Временной ряд чаще всего представляется в виде трех составляющих:

  • T{t) - тренд, устойчивое систематическое изменение за период ретроспекции;
  • S(t) - периодическая составляющая, которая дает колебания относительно тренда. Часто периодические колебания объясняются сезонностью и эту составляющую называют сезонной;
  • U(t) - случайный нерегулярный компонент.

Модель временного ряда включает все названные компоненты и имеет вид

Достоверность модели зависит от правильного выбора периода ретроспекции. В эксплуатационных условиях настоящего времени период ретроспекции меняется от месяца до года. Модель проверяется по статистическим критериям, в том числе по среднеквадратичной погрешности. Точность модели зависит от количества точек исходного ряда данных, от вида функций для компонентов модели и др. Увеличение интервала наблюдений не всегда сопровождается повышением точности, поскольку данные стареют. Слишком короткий ряд может неправильно характеризовать процесс. Подбор функций ряда должен проверяться по погрешностям. Необходимо выбирать наиболее точные функции. Выбирается функция тренда, число значимых гармоник для сезонной составляющей, подбирается по возможности и модель случайной составляющей.

Прогноз на момент времени (t + At) определяется как

Выделение составляющих временного ряда. Каждая составляющая модели отражает определенную сторону моделируемого процесса. При выделении тренда производится сглаживание ряда с помощью усреднения данных на нескольких интервалах времени. Если рассматривается годовой период, то, например, суточные данные можно усреднять на месячных интервалах. Если рассматривается многолетний период, то можно усреднять данные по годам. Усреднение позволяет оценить основную тенденцию процесса. Функция тренда подбирается с помощью полиномиальной регрессии. Коэффициенты регрессии подбираются с использованием метода наименьших квадратов. Как правило, для тренда степень полинома не больше второй.

После выделения тренда остатки имеют вид

Из остатков выделяется сезонная составляющая. Сезонность проявляется в виде циклического процесса, моделирование которого можно выполнить с использованием ряда Фурье, т. е. синусоидальными и косинусоидальными функциями, имеющими различные периоды. В общем виде сезонная составляющая

где Ai, Bt - искомые коэффициенты; i — номер гармоники.

После выделения тренда и сезонной составляющей остаются случайные остатки Ut, которые характеризуют стационарный случайный процесс и в общем случае складываются из колебаний, поддающихся описанию, It, и случайных st, которые не поддаются

описанию. Компонент It может рассматриваться как авторегрессия

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >