Экспоненциальное сглаживание

В случае линейных и нелинейных временных трендов, рассмотренных в § 3.1 и 3.3, необходимо было постулировать форму тренда с точностью до параметров перед началом экспериментального исследования на основе известного отрезка у,, t = 1, ..., п, временного ряда. Метод экспоненциального сглаживания позволяет анализировать временной ряд и получать прогноз без предварительного задания формы тренда. Требуется лишь, чтобы в области исследования тренд изменялся достаточно постепенно, эволюторно.

В основе экспоненциального сглаживания лежит следующая теоретико-вероятностная схема:

Для простоты далее будем предполагать, что значения случайной составляющей в разные моменты времени некоррелированы, т. е.

Из первоначального временного ряда yt сглаженный ряд St(y) можно получить с помощью следующего линейного оператора сглаживания:

где а — константа сглаживания, 0 < а < 1.

Если применить оператор сглаживания последовательно ко всем значениям отрезка ряда, то получим

при этом в последнем равенстве сглаженное значение ^(у) заменили на первое известное значение ряда. Таким образом, в случае экспоненциального сглаживания наблюдения входят в обработку не с одинаковыми, а с экспоненциально убывающими весами, т. е. настоящие наблюдения как бы воспринимаются с большим доверием, чем прошлые. Напомним, что и в методе скользящих средних имеет место неравенство весов: наблюдения, попавшие в отрезок осреднения, входят с равными весами, а остальные наблюдения — с нулевыми весами.

Так как веса экспоненциально убывают, то при достаточно большой длине ряда его прошлые значения входят с весами, быстро стремящимися к нулю (по мере удаления), поэтому условно ряд можно считать бесконечным. В этом случае оператор сглаживания запишется в следующем (унифицированном) виде:

Оператор сглаживания как в первоначальной, так и в унифицированной форме линеен, поэтому, применяя его к отдельным составным частям теоретико-вероятностной схемы, можно после сложения получить результат сглаживания всего исходного ряда.

Применим оператор к случайной составляющей, тогда

Найдем теперь дисперсию сглаженных значений случайной составляющей, воспользовавшись независимостью ее значений в различные моменты времени:

Отсюда следует, что в результате сглаживания дисперсия случайной составляющей, вообще говоря, уменьшается, поскольку

а , . .

  • -<1, так как а < 2 — а, т. е. действительно имеет место
  • 2 - а

сглаживание. «Выступающие» значения детерминированной составляющей также сглаживаются, т. е. сглаживанию действительно подвергается временной ряд в целом.

Оператор сглаживания можно вновь применить к уже сглаженным значениям; в результате получим оператор сглаживания второго порядка, последующее сглаживание дает оператор третьего порядка и т. д.:

Применяя несколько раз оператор сглаживания, а также подбирая соответствующим образом константу сглаживания, можно практически полностью исключить случайную составляющую.

В результате останется только преобразованная детерминированная составляющая.

Возникает вопрос: как же все-таки построить прогноз? Из изложенного выше следует, что пока имеет место такая же ситуация, как и в случае метода скользящих средних: можно аналитически выделить в преобразованном виде детерминированную составляющую, однако нет аналитической формулы для получения ее прогностических значений.

В случае экспоненциального сглаживания (в отличие от метода скользящих средних) имеются аналитические выражения для прогноза. Теорема Брауна, являющаяся фундаментальной в методе экспоненциального сглаживания, утверждает, что коэффициенты полиномов, по которым осуществляется прогнозирование, определяются с помощью дисконтированного метода наименьших квадратов и аналитически выражаются через сглаживаемые значения ряда.

Введем следующие обозначения для прогнозирующего полинома степени N, построенного в предположении, что значение ряда в момент t является последним:

Таким образом, по этому полиному можно получать прогноз в точках (t + т). Коэффициенты полинома должны быть определены так, чтобы прогноз был наиболее точным.

? Теорема Брауна. Коэффициенты прогнозирующих полиномов, определенные по дисконтированному методу наименьших квадратов:

линейно выражаются через сглаженные значения ряда

Доказательство теоремы сопряжено с громоздкими выкладками, поэтому приведем его только для случая N = 1:

Найдем оценки двух параметров прогнозирующего полинома с помощью дисконтированного метода наименьших квадратов (верхний индекс допущен, введено обозначение (3 = 1 — а). Получаем

Точку минимума, как обычно, находим из условия равенства нулю производных:

откуда получаем следующие уравнения:

то

Так как

В случае наиболее часто используемого квадратичного прогнозирующего полинома

можно аналогично получить следующие выражения для оценок его коэффициентов:

Для автоматизированных расчетов применяют следующие рекуррентные формулы, эквивалентные формулам (3.4.10):

Из этих формул видно, что при появлении нового наблюдения не обязательно хранить весь предыдущий отрезок временного ряда, надо лишь знать коэффициенты прогнозирующего полинома, найденные по этому отрезку.

Для прогнозирования на глубину т за пределы известного отрезка ряда используют прогнозирующий полином, найденный на основе всего ряда:

В том случае, когда в окрестности точки п детерминированная составляющая близка к постоянной, применяют аппарат однократного экспоненциального сглаживания и прогноз осуществляют по формуле

Так как

то получаем следующий доверительный интервал прогноза:

где tp — критическая граница распределения Стьюдента, отвечающая уровню значимости р.

Если в окрестности точки п детерминированная составляющая линейна, то применяют двойное экспоненциальное сглаживание и точечный прогноз осуществляют по формуле

В результате подсчетов можем получить

поэтому имеем следующий доверительный интервал для прогноза:

Если детерминированная составляющая нелинейна в окрестности точки п, то применяют тройное экспоненциальное сглаживание и точечный прогноз определяется формулой

Сезонное экспоненциальное сглаживание

В том случае, если детерминированная составляющая кроме роста испытывает еще и периодические колебания, т. е. в окрестности t может быть описана формулой

где F(t) — периодическая функция с известным периодом М, может быть применено сезонное экспоненциальное сглаживание, которое реализовано в ряде ППП. Программная система по заданному периоду инициализации М производит первоначальную оценку периодической функции (кМ — число наблюдений):

В дальнейшем выполняется взаимосвязанное сглаживание периодической функции и коэффициентов тренда по формулам

Прогноз временного ряда на т шагов вперед осуществляется по формуле

Оптимальные значения констант сглаживания а, |3, у выбирают по минимуму суммы квадратов отклонений прогнозов (на один шаг) от действительных значений ряда.

Вопросы и задачи

1. Определите вид и параметры тренда в динамическом ряде государственных расходов Швеции (млрд долл, в ценах 2000 г.):

Год

Государственные расходы

Год

Государственные расходы

1980

37,4

1990

42,7

1981

37,7

1991

42,1

1982

37,9

1992

42,6

1983

37,7

1993

44,8

1984

38,0

1994

45,1

1985

38,4

1995

45,0

1986

38,8

1996

46,6

1987

39,0

1997

46,7

1988

39,1

1998

48,8

1989

40,4

1999

51,0

2. Имеются следующие данные о числе ошибок лиц, обучающихся машинописи:

Число месяцев работы на пишущей машинке

1

2

3

4

Среднее число ошибок на страницу

25

10

5

2

Найдите прогноз среднего числа ошибок для лиц с полуторамесячным стажем.

3. Пусть у, = а0 + а,/ + е,, Me, = 0, De,=o2, cov(e,, еЛ.) = 0,

п -1

t Ф s, t = 1, ..., п. При каком И оценка dj = /? X (^/+i - yt) является

1 = I

несмещенной? Найдите дисперсию этой оценки.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >