Полная версия

Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Задача 7.1. Найти предельное распределение для максимумов из случайных величин, распределенных по Парето.

Решение. Для решения используем классическую форму распределения Фреше, представленную в п. 1.3.1:

В качестве последовательностей нормирующих констант возьмем

В этом случае для Y = max(Xi, Х2,..., Хп) верно

Задача 7.2. Показать, что максимум из случайных величин с распределением Фреше также имеет распределение Фреше.

Решение. Функция распределения Фреше определяется соотношением Fx(x) = e(-(i+€®) 1/€. в этом случае для Y = max(Xi, Х2,..., Хп) верно:

Последнее выражение является функцией распределения масштабированного распределения Фреше.

Задача 7.3. Показать, что предельным распределением превышения порога для распределения Парето будет также распределение Парето.

Решение. Для простоты вычислений снова воспользуемся формой функции распределения Парето (см. главу 1):

В этом случае для У = X — dX > d верно:

Последнее выражение является функцией распределения смещённого распределения Парето.

Отметим, что с учетом теоремы из п. 7.3.1 ответ задачи автоматически следует из задачи 1.1.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ

  • 7.1. Предложить способ разбиения данных на блоки для анализа максимального ущерба на протяжении некоторого периода в случае, если у аналитика есть данные по ущербам за двухлетний период.
  • 7.2. Доказать, что предельным распределением максимума для распределения Гумбеля также будет распределение Гумбеля.
  • 7.3. Доказать, что если число ущербов определяется распределением Пуассона, а размер ущерба — экспоненциальным распределением, то максимум из случайного числа ущербов будет описываться распределением Гумбеля.
  • 7.4. Показать, что предельным распределением превышения порога для экспоненциального распределения будет экспоненциальное распределение.
  • 7.5. Доказать формулу (7.5).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>