Полная версия

Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МЕТОД АНАЛИЗА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕВЫШЕНИЯ ЗАДАННОГО ПОРОГА

Формальное описание метода

При всех своих достоинствах идея анализа максимального ущерба, рассмотренная выше, не совсем подходит для решения проблемы, описанной в п. 7.1.1, так как вместо уточнения оценки квантилей решается несколько иная задача, впрочем также очень важная.

Альтернативный метод предлагает выбрать некоторый (достаточно большой) порог и исследовать распределение лишь ущербов, превышающих данный порог (рис. 7.2). Подобный подход позволяет более бережно относиться к имеющейся выборке.

Формально предполагается анализ случайной величины У = X — d > 0, где d — фиксированный порог, при условии X > d. Таким образом, исследуется случайная величина, определяющая, па сколько ущерб превысил данный уровень (при условии, что данный уровень вообще был превышен).

Очевидно, что функция распределения Y определяется функцией распределения X и значением d:

где 0 < х < хр = sup{t : F(t) < 1}.

Часто акцент делается на математическом ожидании случайной величины У, которое называют функцией среднего превышения (mean excess function):

Отметим, что подобная характеристика встречается, например, в страховании жизни и демографии, где её называют средней остаточной продолжительностью жизни.

Таким образом, величина У, по сути, определяет поведение хвоста случайной величины X. При этом с учетом представления

задача оценки квантилей распределения X сводится к задаче оценки величины Fx(d) и анализу функции распределения У.

Для распределения Y верна теорема (Balkema, de Haan, Pickands Theorem), связывающая проблему превышения порога с проблемой анализа максимума: Если (и только если) X принадлежит к максимальной области притяжения одного из обобщенных распределений экстремальных значений (с параметром ?), то можно найти такую функцию /3(d), что

|ЕУ(.т) - W^p{d)(x) = 0

где (х) — обобщённое распределение Парето (generalized Pareto distribution,

GPD). Его функция распределения определяется следующим образом:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>