Полная версия

Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Классификация распределений по тяжести хвоста

Теорема Фишера—Типетта позволяет классифицировать различные распределения в зависимости от знака параметра ?. Так, если теорема верпа для некоторого распределения F(x), то говорят, что F(x) принадлежит к максимальной области притяжения G^{x) (maximum domain of attraction, сокращенно MDA).

При этом поведение случайных величии значительно отличается в зависимости от того, к максимальной области распределения какого обобщенного распределения экстремальных значений оно принадлежит.

Наиболее тяжелые хвосты характерны для распределений из максимальной области притяжения распределения Фреше (обобщенное распределение экстремальных значений с ? > 0). К ним относятся такие распределения, как обратное гамма- распределение, ^-распределение Стьюдента, логгамма распределение, распределение Бёрра, распределение Парето, распределение Коши, F-распределение и многие другие.

Группа подобных распределений удобно классифицируется с помощью понятия медленно меняющихся па бесконечности функций, т. е. функций, для которых

Верно утверждение, что если F(x) 6 MDA(G^), ? > 0, то 1 — F(x) = .x_“L(.x), где L(x)—некоторая медленно меняющаяся па бесконечности функция. Величину jr в таком случае называют хвостовым индексом распределения.

О тяжести хвостов распределений из данной группы говорит, например, то, что их моменты Е[Хк] конечны лишь в случае к < jr- Данные распределения активнее других используются в финансовых приложениях, причем наиболее часто встречаются значения ? от 0,2 до 0,4.

Характеризация распределений из области притяжения распределения Гумбеля (? = 0) представляется несколько более сложной. Так, в эту область максимального притяжения входят и нормальные распределения с очень тонкими хвостами, и логнормальные распределения, хвосты которых зачастую на практике сложно отличить от хвостов распределений из области максимального притяжения распределения Фреше. Сюда также входят гамма, хи-квадрат, гиперболические, обобщенные гиперболические распределения, нормальные смешанные распределения (за исключением ^-распределения, являющегося предельным в схеме нормальных смешанных распределений) и распределения Бектандера I и II рода. Важным свойством подобных распределений является конечность моментов всех порядков.

Распределения из MDA распределения Вейбулла (? < 0) представляют наименьший интерес с точки зрения анализа рыночных рисков. Так, все они обладают конечным носителем. Впрочем, подобные распределения активно используются в областях, связанных с кредитным риском и актуарными приложениями, где максимальный ущерб предполагается конечным.

Важно отметить, что, несмотря на принципиальные различия в свойствах в зависимости от знака ?, GEV-семейство является непрерывным по ?, так как при ? -»? 0 е-(Н-€*Г1/се-е_ж.

Наконец, естественно, что каждое из распределений Вейбулла, Фреше и Гумбеля попадает в свою область притяжения.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>