Полная версия

Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МЕТОД АНАЛИЗА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО УЩЕРБА ЗА ПЕРИОД

Формальное описание метода анализа максимального ущерба

Первый подход к анализу больших ущербов предлагает вместо исследования распределения случайной величины, описывающей ущербы, сконцентрироваться на распределении случайной величины, описывающей «максимальный ущерб за некоторый период». Так, если наблюдаемые данные Х{ представляют выборку из ущербов за день, то максимальный дневной ущерб за неделю будет описываться случайной величиной Y = max{Xi,..., X7}, т. е. будет характеризовать максимальный ущерб по итогам дня за неделю.

Очевидно, что если предполагать Х{ независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, то функции распределения Y и Xi связаны следующим соотношением:

Главный вывод теории экстремальных значений заключается в том, что если удается подобрать такие последовательности Ьпп, что (jExi ^ ^^ —невы-

рождено при п —* оо, то для независимых, одинаково распределенных случайных величин выполняется соотношение

где G(x) —обобщенное распределение экстремальных значений (generalized extreme value distribution, GEV distribution).

Функция обобщенного распределения экстремальных значений выглядит следующим образом:

где 1 + ?.т < 0. В литературе данный результат известен как теорема Фишера— Типпета (Fisher—Tippet Theorem).

Привлекать последовательности bn,an приходится постольку, поскольку без соответствующей нормировки (х) будет при п —* оо стремиться либо к 0, либо к 1.

При этом подобные последовательности существуют не для всех распределений.

С точки зрения практики из теоремы следует, что если вместо рассмотрения всей выборки разбить её па равные периоды длительностью п, выбрать из каждого периода максимальный ущерб и составить новую выборку из выбранных значений, то можно ожидать, что новая выборка будет хорошо описываться обобщенным распределением экстремальных значений. В дальнейшем с помощью найденного распределения возможно исследование поведения максимального ущерба за будущий период той же длительности. В результате можно ожидать, что проблема недооценки больших квантилей исходного распределения будет решена, так как новое распределение будет оцениваться лишь по большим реализациям исходного.

Поведение GEV-распределеиия в значительной степени зависит от значения параметра ?. Различают три основных случая: ?>0,?<0,? = 0. В первом случае вместо обобщенного распределения экстремальных значений говорят о распределении Фреше, во втором — о распределении Вейбулла, уже встречавшемся в и. 1.3.1, в последнем случае —о распределении Гумбеля.

Конечно, в данном методе присутствует некоторая условность. Теорема предполагает, что длительность периода стремится к бесконечности. Однако данная условность присуща всем предельным теоремам. Так, центральная предельная теорема о нормальной аппроксимации сумм независимых, одинаково распределенных случайных величии используется и для конечного числа слагаемых.

Напоследок отметим, что нужно различать понятия «максимальный ущерб за период» и «итоговый ущерб за период». Итоговый ущерб за период говорит об ущербе по портфелю рисков па конец периода, а максимальный ущерб за период —о максимуме из ущербов по итогам нескольких подпериодов.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>