Полная версия

Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Упражнения по модели коллективного риска

  • 5.7. Доказать формулу (5.17).
  • 5.8. Вывести формулы (5.16) и (5.17), используя производную производящей функции моментов (5.18).
  • 2.9. Оценить производящую функцию моментов, математическое ожидание и дисперсию для сложного отрицательного биномиального распределения.
  • 5.10. Требования к общему объему неоднородного портфеля в модели индивидуального риска можно сформулировать с помощью неравенства Берри—Эссеена (5.5) при переходе к гомогенизированным случайным величинам. Переписать соответствующее условие в терминах характеристик исходных случайных величин.

[Подсказка: воспользоваться равенством (5.38) и решением задачи 5.2.]

  • 5.11. Доказать формулу (5.24) для распределения Пуассона.
  • 5.12. Найти безусловное распределение, если условное распределение — биномиальное, а смешивающее — бета-распределение.

[Подсказка: полученное распределение называется отрицательным гипергеометрическим, или распределением Пойа— Эггенбергера.|

5.13. Найти сложное распределение Пуассона, если слагаемые подчинены

a) распределению Пуассона;

[Подсказка: полученное распределение называется Пуассон-пуассоновским, или распределением Неймана типа А.]

b) усеченному геометрическому распределению (исключается пулевая точка); Подсказка: полученное распределение называется распределением Пойа—Эппли.|

c) обратному гауссовскому распределению.

5.14. (Декомпозиция сложного распределения Пуассона) Совокупный ущерб по портфелю рисков моделируется сложным распределением Пуассона с параметром Л и функцией распределения ущерба F(-). Портфель можно разбить па т классов в зависимости от типа риска, при этом pj — доли указанных классов в портфеле, так что

Показать, что в этом случае совокупный ущерб в каждом классе описывается сложным распределением Пуассона с параметром pj и функцией распределения индивидуального ущерба Fj(-). При этом

[Подсказка: начать с совместного распределения случайных величин

  • 5.15 (Аппроксимация Корнья). Обосновать сложно-пуассоновскую аппроксимацию модели индивидуального риска, при которой в формуле (5.28) используется замена
  • 5.16. Рассчитать математические ожидания и дисперсии ущерба для сложнопуассоновских аппроксимаций из п. 5.3.3, задачи 5.14 и упражнения 5.13. Показать, что минимальные оценки математических ожиданий и дисперсий будут при использовании первого приближения, а максимальные — последнего. Показать, что математическое ожидание совокупного ущерба для аппроксимации и. 5.3.3 совпадает с математическим ожиданием исходной модели, а дисперсия будет больше.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>