Полная версия

Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Смеси распределений для моделирования неоднородности

Для моделирования неоднородности удобно ввести вспомогательную случайную величину, традиционно обозначаемую 0. Она обычно интерпретируется как некая характеристика риска, если речь идет об одномерной случайной величине, или как набор характеристик в случае многомерной случайной величины. Это могут быть параметры функции распределения ущерба, моменты или иные специально сконструированные меры риска. Главное при выборе 0 состоит в том, что эта величина объясняет (прямо или косвенно) различия в статистике ущерба. Иными словами, выбранная характеристика так или иначе отражает механизм проявления и источник неоднородности рисков.

В рамках такой модели считается, что из общей неоднородности совокупности можно выделить однородную подгруппу, зафиксировав значение характеристики риска2 0 = в. Если оно не является легко идентифицируемым или вообще неизвестно (не наблюдаемо), то распределение ущерба удобно моделировать с помощью смеси распределений. Для этого важно задать (исследовать) смешивающее распределение /©(#). С точки зрения принятой нами интерпретации оно определяет структуру портфеля рисков (по значениям характеристики риска в), так что в специальной литературе его иногда называют структурным распределением.

При такой постановке случайная величина ущерба X по наугад выбранному риску описывается функцией распределения (4.1) или (4.2). Следует заметить, что Fxe ix 1$) функция распределения случайной величины ущерба из подгруппы, определенной условием 0 = в. С математической точки зрения это условное распределение.

2 Хотя для абсолютно непрерывных распределений случайной величины © выражение © = в задает множество меры 0 и должно заменяться неравенством в < © < 6 + <16, в контексте условных распределений используют именно 0 = 0 как символическую запись, подчеркивающую получение условного распределения путем сечения.

Усреднение по возможным значениям характеристики риска, в частности, означает, что математическое ожидание случайной величины ущерба X, имеющей безусловное распределение, можно представить как усреднение условных математических ожиданий:

Таблица 4-Т Соотношения между распределениями в формуле Байеса

Условное распределение

наблюдений (при условии на параметр в)

Распределение возможных значений параметра 0

априорное

апостериорное

Гамма-распределение с параметрами а и в

Гамма-распределение с параметрами /ЗиЛ

Гамма-распределение с параметрами ап + (3

и Л + ЕГ=1 хг

Гамма-распределение с параметрами а и в

Экспоненциальное распределение с параметром Л

Гамма-распределение с параметрами ап + 1

и А + Е?= 1 Xi

Экспоненциальное распределение с параметром в

Гамма-распределение с параметрами /ЗиЛ

Гамма-распределение с параметрами п + /3

и ^ + ЕГ=1Х*

Экспоненциальное распределение с параметром в

Экспоненциальное распределение с параметром Л

Гамма-распределение с параметрами п + 1

и ^ + J27=lXi

Распределение Пуассона с параметром 0

Гамма-распределение с параметрами /ЗиЛ

Гамма-распределение с параметрами (3 + ЕГ=1 Хг и Л + п

Распределение Пуассона с параметром 0

Экспоненциальное распределение с параметром Л

Гамма-распределение с параметрами 1 + ЕГ=1 Xi и Л + п

Биномиальное распределение с параметрами т и 0

Бета-распределение с параметрами р и q

Бета-распределение с параметрами р + ЕГ=1 Хг и пт + q - ЕГ=1 xi

Биномиальное распределение с параметрами т и 0

Равномерное распределение на отрезке (0; 1)

Бета-распределение с параметрами 1 + ?Г=1 Xi и пт + 1 - ЕГ=1 хг

Отрицательное биномиальное распределение с параметрами т и 0

Бета-распределение с параметрами р и q

Бета-распределение с параметрами тп + р

и Я + ЕГ=1 хг

Геометрическое распределение с параметром 0

Бета-распределение с параметрами р и q

Бета-распределение с параметрами п + р

и Я + Е Г=1 xi

Отрицательное биномиальное распределение с параметрами т и 0

Равномерное распределение на отрезке (0; 1)

Бета-распределение с параметрами тп + 1

и 1 + Е?=1 Хг

Геометрическое распределение с параметром 0

Равномерное распределение на отрезке (0; 1)

Бета-распределение с параметрами п + 1 и 1 + ЕГ=1 Xi

Нормальное распределение с параметрами 0

9

И G

Нормальное распределение с параметрами р, 2

и гг

Нормальное распределение с параметрами

v2 ?i=l Хг+<т2ц __ 2u2 -if-.-1- И -Т—-т

nv^--(T^ nv^+cr-*

где р(в) — математическое ожидание случайной величины, имеющей условное распределение при условии 0 = в. Аналогично для дисперсии имеем

где а2(0) —дисперсия случайной величины, имеющей условное распределение при 0 = в. Дисперсия D [X] имеет два компонента, первый из которых отражает колебания ущерба относительно условного математического ожидания и характеризует «истинную» неопределенность, порождаемую индивидуальным риском, а второй вариацию характеристики риска, описываемую случайной величиной 0, т. е. неопределенностью типа риска.

Таким образом, отклонение ц{9) от Е [д(0)] и необходимость введения дополнительного компонента D [д(0)] в формулу дисперсии являются «платой» за невозможность априорной идентификации типа риска. Перекрестное субсидирование возникает в связи с тем, что разность р,(9) — Е [//(0)] может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от значения 9, и при этом, очевидно, выполняется равенство Е [д(0) — Е [д(0)] ] = 0.

В случае неблагоприятного отбора происходит такое изменение распределения случайной величины 0, что масса вероятности сдвигается вправо (распределение характеристик риска по договорам в портфеле «ухудшается»), так что имеет место соотношение

где 0f+i и 0t—случайные величины, описывающие распределение характеристик риска в моменты времени t + l и t. Это выражение, очевидно, эквивалентно неравенству Е [/i(0*+i) ] > Е [/i(0f)]. Неравенство (4.7) демонстрирует возможность ухудшения финансового положения компании из-за ухудшения качества рисков.

Альтернативная интерпретация смеси распределений предполагает иной механизм возникновения неопределенности: само распределение ущерба (или его «базовая» модель) остается неизменным, по для повышения адекватности моделирования и точности прогноза учитывается ряд дополнительных факторов, изменение которых носит случайный характер. Иными словами, неоднородность рисков здесь связана не с особенностями самих рисков, а с различиями их реализации в разные периоды времени. Очевидно, такая интерпретация в большей мере касается прогнозирования, а не проблемы неоднородности, так как в контексте последней она возможна при использовании данных, дифференцированных во времени, в пространстве и по иным критериям.

Приведем пример подобной интерпретации. Распределение ущерба X в базовом периоде характеризуется фиксированной характеристикой 9q, так что соответствующую функцию распределения можно записать в виде Fx {х |#о). Если бы не было влияния инфляции, это распределение вполне адекватно описывало бы случайную величину ущерба в прогнозируемый период, т. е. X — подходящая модель ущерба в «реальном» выражении. Влияние инфляции можно смоделировать с помощью случайной величины Е с функцией распределения /А(?), которую для определенности в пашем примере будем считать абсолютно непрерывной, хотя па практике могут встретиться и другие варианты. Тогда размер ущерба в номинальном выражении Хпот можно представить как произведение Хпот = Е • X, функция распределения которого записываетя следующим образом:

Если для простоты предположить, что условную вероятность Р [^Х < х | 5 = ?] можно описать функцией распределения Fx (х | ?#о), т. е. 0q — параметр масштаба соответствующего распределения, то искомое распределение случайной величины ХПот представляет собой смесь

что аналогично (4.1). Эту аналогию можно усилить с учетом замены переменной в = ?#о при в0 > 0:

Если случайная величина ? заменяется на где случайная величина 0 имеет функцию распределения

и функцию плотности распределения

а функция распределения Fx{x) рассматривается как функция условного распределения Fx(х), то получим формулу смеси распределений в классическом виде (4.1).

Иногда случайная величина 0 является не показателем, характеризующим распределение, а искусственной конструкцией, отражающей степень нашего незнания или то, как нам удобно думать о неоднородности. Тогда выражения (4.1) или (4.2) следует интерпретировать не как смеси распределений, отражающие реальную структуру портфеля рисков или влияние дополнительных факторов, а как рандомизированное описание функции распределения, когда точное значение его параметров неизвестно. Иными словами, такая интерпретация связана, скорее, с ошибками наблюдения и оценивания, т. е. с дефицитом информации. Аналогично меняется и представление о выражениях (4.5) и (4.6): искажение оценки математического ожидания и дополнительный компонент в формуле дисперсии являются мерой незнания (дефицита информации).

При такой интерпретации неоднородность портфеля рисков может быть только одним компонентом неопределенности — хотя весьма вероятным, но вовсе не обязательным. Поэтому, несмотря на то, что формулы для всех интерпретаций будут тождественными, их приложения и истолкование результатов будут различными. В частности, подобная модель может и не приводить к ситуации перекрестного субсидирования, а только отражать ухудшение финансового состояния.

Таким образом, на практике возможно сочетание различных интерпретаций, так как риск-менеджер сталкивается, как правило, со всеми типами факторов, а именно со следующими:

  • • различиями в рисках, на которых базируется «реальная» неоднородность портфеля, выражающаяся в модели смеси распределений,
  • • «внешними» воздействиями па механизм возникновения рисков, которые также удобно моделировать с помощью смеси распределений,
  • • недостатком данных, приводящим к «воображаемой» неоднородности портфеля, что связано с моделью рандомизации.

Часто у риск-менеджера мало информации для того, чтобы предпочесть одну из интерпретаций. Однако влияние дефицита статистики можно учесть более простыми методами, упомянутыми в предыдущих главах. Поэтому предпочтение отдается представлению (4.1) или (4.2) как смеси распределений, а оценке точности в рамках рандомизации распределений ущерба уделяется роль вспомогательного инструмента.

Модель смеси распределений может использоваться и косвенным образом. В частности, случайная величина ущерба X была представлена в равенстве (1.2) как смесь случайной величины Y и вырожденной случайной величины, тождественно равной нулю с вероятностью 1, причем распределение случайного индикатора / являлось смешивающим. В этом смысле выражение (1.4) является частным случаем соотношения (4.2), если учесть, что функция распределения упомянутой вырожденной случайной величины имеет вид

Анализ ущерба «большого» размера или даже катастрофического ущерба может включать более содержательное применение смесей распределений. В данном случае удобно рассматривать смесь распределений с компонентом, моделирующим ущерб «нормальной» величины, и компонентом, задающим распределение «большого» ущерба. Использование такого представления может быть

  • прямым, т. е. отражающим реальную неоднородность, так что модель будет учитывать различия в рисках или в особенностях реализации неблагоприятных событий, что полностью соответствует данной ранее интерпретации соотношений (4.1) и (4.2);
  • косвенным, являющимся всего лишь удобным приемом (инструментом) анализа. Тогда оно носит «искусственный» характер, так как осуществляется не для повышения однородности, а для удобства последующего анализа. В частности, для целей изучения финансовых последствий может быть полезно отделить «обычные» неблагоприятные события, предполагающие «нормальный» ущерб, от «экстраординарных», т. е. тех, которые происходят редко (раз в несколько лет), но вызывают «большой» ущерб.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>