Полная версия

Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры когерентых мер риска

К сожалению, многие популярные меры риска не удовлетворяют свойствам когерентности. Так, в общем случае дисперсия не удовлетворяет ни одному из свойств (2.7)—(2.11). Стандартное отклонение удовлетворяет свойству суббадитивности и положительной однородности, однако не удовлетворяет свойству инвариантности к сдвигу, что также не позволяет использовать его для определения достаточности резервов.

Простейшими примерами когерентных мер являются максимальное значение и математическое ожидание. Минимальную сложность в формальной проверке их когерентности представляет разве что проверка монотонности для математического ожидания: пусть для двух случайных величии верно

Обозначим Z = X — У. Тогда с вероятностью 1 случайная величина Z принимает только отрицательные значения или ноль. Следовательно,

Больший интерес представляет анализ когерентности квантильных мер риска. В общем случае рисковый капитал, вообще говоря, не удовлетворяет свойству субаддитивности. Напротив, условный рисковый капитал удовлетворяет всем требуемым свойствам.

Когерентные меры риска как супремум математических ожиданий

Когерентные меры риска допускают следующее важное представление. Обозначим V — множество конечноаддитивпых мер на пространстве с сигма-алгеброй (О, X), кроме того, обозначим Мр= {X : Eq (|Х|) < оо для всех Q G V} . Наконец, обозначим р-р(X)= sup {Eq (X) :Q Е V} . Тогда для любого семейства V рр будет когерентной мерой на АЛр.

Сильно упрощая, можно предложить следующую интерпретацию данного свойства. Пусть исследователю неизвестна истинная вероятностная мера на пространстве (О, X), а известно лишь их семейство V. В таком случае мера риска, построенная с помощью наихудшего математического ожидания, (sup{Eq (X) : Q G Р}), будет когерентной. Верно и обратное. Для конечного пространства элементарных событий Q и семейства случайных величин АЛ существует набор вероятностных мер V таких, что р = рр. Более подробно о подобных преставлениях можно прочитать, например, в [Follmer, Schied, 2004].

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>