Полная версия

Главная arrow Страховое дело

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Свойства произведения двух случайных величин

Для двух независимых случайных величин U и V строим новую величину W = UV, тогда

Например, А — случайное страховое событие, X — случайная величина ущерба (безусловного или полного), (ХА) — случайная величина ущерба, если страховой случай произошел.

Свёртка (композиция двух случайных величин)

Пусть известны плотности двух СВ: X и 7 Надо найти плотность СВ Z = X + 7:

X~Ax), Y~g(y)

Z=X+ Y h(z) =? tf(z) = ? Найдем функцию распределения:

тогда: h(z) = H'(z);

Для дискретных величин интеграл заменяется суммой. Например, есть две СВ (X, Y), распределенные по законам Пуассона (с параметрами А, и и), тогда для Z = X + Y:

т.е. формула Пуассона для параметра (А, + р). Интенсивности потоков складываются.

Замечание. Для нормального закона выполняется то же условие.

Свёртка двух независимых нормальных СВ образует нормальную СВ с параметрами (px+ ц^,), (о2 + о2).

Композиция нескольких равномерно распределенных случайных величин

Сначала без потери общности рассмотрим СВ, равномерно распределенные на [0, а]. Их плотность равна на этом отрезке и 0 —

вне его. Итак, СЦх) = (г-1, 0 < а; иначе о} .

Рассмотрим две случайные величины Хи У; Z = X + Ye [0, 2а];

  • 1 1 z 1 2
  • 1) 0 тогда /,(*) = -, f2(z-x) = т.е. fj2 dx = — =

а а о а2 о а2

2) а < z < 2а, здесь необходимо выполнение двух условий:

первое — 0 < х < а, тогда /г(х) = —;

а

второе — 0 < z — х < а (т.е. х> z - а), тогда /2(z - х) = —.

а

а , а ?

Итак, { /i /2 dx = —х =

z-a a z_a a

Окончательно:

В наших обозначениях:

Для произвольного п получим по индукции Эти результаты обобщаются на произвольном отрезке [а, Ь.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>