«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА»
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ БРУСЬЕВ И ДОСОК ПРИ РАСКРОЕ ПИЛОВОЧНИКА БРУСОВО-РАЗВАЛЬНЫМ СПОСОБОМ
Разработана математическая модель раскроя пиловочника с выпиливанием трех брусьев разной толщины и четырех пар боковых досок. Получен алгоритм решения задачи. Используя численный метод были определены оптимальные размеры брусьев и досок, при которых целевая функция принимает максимальное значение.
На лесопильных предприятиях центральный брус иногда выпиливают по толщине и больше и меньше, чем боковые брусья (рисунок 1). Поэтому необходимо знать какое соотношение размеров брусьев и досок является наиболее выгодным. В качестве критерия оптимальности выбираем выход обрезных пиломатериалов, получаемых при первом проходе брусово- развального способа раскроя пиловочника [3]. Для определения оптимальных
287
размеров брусьев и досок составляем математическую модель[1].
Рисунок 1 - Схема раскроя пиловочника с выпиливанием трех брусьев разной толщины и четырех пар боковых досок
Целевую функцию для данной схемы раскроя пиловочника можно написать в виде суммы поперечных сечений брусьев и досок
где с - коэффициент увеличения или уменьшения толщины центрального бруса по сравнению с толщиной боковых брусьев;
Н - толщина бокового бруса,
Ai - ширина пласти центрального бруса;
А2 - ширина наружной пласти боковых брусьев;
Т1 - толщина первой пары боковых досок;
bi - ширина наружной пласти первой пары боковых досок;
Т2 — толщина второй пары боковых досок;
Ь2 - ширина наружной пласти второй пары боковых досок;
Т3 - толщина третьей пары боковых досок;
Ь3 - ширина наружной пласти третьей пары боковых досок;
Т4 - толщина четвертой пары боковых досок;
b4 - ширина наружной пласти четвертой пары боковых досок.
Уравнение связи составлены с использованием теоремы Пифагора [2]. Взаимосвязь диаметра бревна в вершинном торце с размерами брусьев и досок можно записать в следующем виде. Для центрального бруса
где d - диаметр пиловочника в вершинном торце.
Для боковых брусьев
Для первой пары боковых досок
Для второй пары боковых досок
Для третьей пары боковых досок
Для четвертой пары боковых досок
Для решения данной схемы раскроя пиловочника используется аналогичный методический подход [1]. Решая эту математическую модель, получаем формулы для определения оптимальных размеров брусьев и досок.
Для упрощения расчетов и анализа результатов представляем формулы в относительных единицах, полагая тн = H/d. Алгоритм решения задачи в относительных единицах приводится ниже.
Относительная ширина центрального бруса
Относительная ширина наружной пласти бокового бруса
Относительная ширина первой пары боковых досок
Относительная толщина первой пары боковых досок
Относительная ширина второй пары боковых досок
Относительная толщина второй пары боковых досок
Относительная ширина третьей пары боковых досок
Относительная толщина третьей пары боковых досок
Относительная ширина четвертой пары боковых досок
Относительная толщина четвертой пары боковых досок
Относительная площадь поперечных сечений брусьев
Относительная площадь поперечных сечений боковых досок
Суммарная площадь поперечных сечений брусьев и досок
Однако по полученным формулам определить оптимальные размеры брусьев и досок непосредственно не представляется возможным. Поэтому для определения оптимальных размеров брусьев и досок используем численный метод. Задаемся коэффициентом (с), а затем, задаваясь толщиной боковых брусьев в определенном диапазоне, определяем все размеры брусьев и досок, а также величину целевой функции. В этом диапазоне изменения толщины брусьев отыскиваем максимальное значение целевой функции. Этот результат и будет являться оптимальным. Расчеты сведены в таблицу 1.
Таблица 1 - Оптимальные размеры брусьев и досок и величина целевой функции для различных значений коэффициента «с»
|
с |
тн |
mAl |
тА2 |
mbl |
тТ1 |
™Ь2 |
тЬ3 |
тТз |
™Ь4 |
™г4 |
Z6p |
Z |
||
|
0,5 |
0,149 |
0,997 |
0,928 |
0,821 |
0,099 |
0,683 |
0,08 |
0,513 |
0,064 |
0,299 |
0,048 |
0,351 |
0,366 |
0,717 |
|
0,6 |
0,147 |
0,996 |
0,924 |
0,817 |
0,097 |
0,681 |
0,078 |
0,512 |
0,063 |
0,3 |
0,047 |
0,36 |
0,358 |
0,71774 |
|
0,8 |
0,143 |
0,993 |
0,916 |
0,81 |
0,093 |
0,674 |
0,076 |
0,509 |
0,061 |
0,301 |
0,046 |
0,376 |
0,343 |
0,71912 |
|
1 |
0,139 |
0,99 |
0,909 |
0,802 |
0,09 |
0,668 |
0,074 |
0,504 |
0,06 |
0,299 |
0,045 |
0,39 |
0,33 |
0,72036 |
|
1,2 |
0,135 |
0,987 |
0,902 |
0,794 |
0,088 |
0,66 |
0,072 |
0,497 |
0,058 |
0,293 |
0,044 |
0,403 |
0,318 |
0,72144 |
|
1,4 |
0,131 |
0,983 |
0,895 |
0,787 |
0,086 |
0,653 |
0,07 |
0,489 |
0,057 |
0,285 |
0,043 |
0,415 |
0,307 |
0,72234 |
|
1,5 |
0,13 |
0,981 |
0,89 |
0,78 |
0,086 |
0,642 |
0,07 |
0,475 |
0,057 |
0,264 |
0,042 |
0,423 |
0,3 |
0,7226 |
|
1,6 |
0,126 |
0,979 |
0,891 |
0,784 |
0,084 |
0,651 |
0,069 |
0,49 |
0,056 |
0,29 |
0,043 |
0,422 |
0,301 |
0,72308 |
|
1,8 |
0,122 |
0,976 |
0,886 |
0,777 |
0,083 |
0,644 |
0,068 |
0,481 |
0,056 |
0,279 |
0,042 |
0,43 |
0,293 |
0,72366 |
|
2 |
0,117 |
0,972 |
0,884 |
0,776 |
0,081 |
0,643 |
0,067 |
0,483 |
0,055 |
0,284 |
0,042 |
0,434 |
0,29 |
0,72411 |
|
2,2 |
0,113 |
0,969 |
0,88 |
0,771 |
0,081 |
0,638 |
0,067 |
0,476 |
0,055 |
0,274 |
0,041 |
0,44 |
0,285 |
0,72441 |
|
2,4 |
0,108 |
0,966 |
0,88 |
0,772 |
0,08 |
0,64 |
0,066 |
0,481 |
0,054 |
0,283 |
0,041 |
0,44 |
0,284 |
0,72464 |
|
2,5 |
0,106 |
0,964 |
0,879 |
0,771 |
0,08 |
0,638 |
0,066 |
0,479 |
0,054 |
0,28 |
0,041 |
0,442 |
0,283 |
0,72471 |
|
2,6 |
0,104 |
0,963 |
0,878 |
0,77 |
0,08 |
0,637 |
0,066 |
0,477 |
0,054 |
0,277 |
0,041 |
0,443 |
0,282 |
0,72475 |
|
2,8 |
0,1 |
0,96 |
0,877 |
0,768 |
0,08 |
0,635 |
0,066 |
0,474 |
0,054 |
0,274 |
0,041 |
0,444 |
0,281 |
0,72479 |
|
3 |
0,096 |
0,958 |
0,877 |
0,768 |
0,08 |
0,635 |
0,066 |
0,474 |
0,054 |
0,274 |
0,041 |
0,444 |
0,281 |
0,72477 |
|
3,2 |
0,092 |
0,956 |
0,878 |
0,77 |
0,08 |
0,637 |
0,066 |
0,477 |
0,054 |
0,278 |
0,041 |
0,443 |
0,282 |
0,7247 |
|
3,4 |
0,088 |
0,954 |
0,88 |
0,773 |
0,08 |
0,641 |
0,066 |
0,483 |
0,054 |
0,286 |
0,041 |
0,44 |
0,284 |
0,72459 |
|
3,5 |
0,087 |
0,953 |
0,878 |
0,769 |
0,081 |
0,635 |
0,067 |
0,472 |
0,054 |
0,27 |
0,041 |
0,443 |
0,282 |
0,72449 |
|
3,6 |
0,085 |
0,952 |
0,879 |
0,771 |
0,08 |
0,638 |
0,067 |
0,477 |
0,054 |
0,277 |
0,041 |
0,441 |
0,284 |
0,72445 |
|
3,8 |
0,082 |
0,95 |
0,88 |
0,77 |
0,081 |
0,636 |
0,067 |
0,474 |
0,055 |
0,271 |
0,041 |
0,44 |
0,284 |
0,72425 |
|
4 |
0,078 |
0,95 |
0,884 |
0,777 |
0,081 |
0,646 |
0,067 |
0,488 |
0,055 |
0,293 |
0,042 |
0,434 |
0,29 |
0,72407 |
Расчёты показывают, что с увеличением коэффициента «с» оптимальная толщина боковых брусьев уменьшается, а величина целевой функции в начале возрастает, достигая максимального значения при с = 2,8, а затем уменьшается. Поэтому при составлении и расчете поставов необходимо пользоваться этой рекомендацией.
Список литературы
- 1. Агапов, А.И. Оптимизация технологических процессов деревообработки [Текст]: учеб, пособ. для вузов / А.И. Агапов. - Киров: ВятГУ, 2012.-81 с.
- 2. Агапов, А.И. Оптимизация брусово-развального способа раскроя пиловочника с выпиливанием двух брусьев [Текст] / А.И. Агапов. - Киров, ВятГУ, 2011.-77 с.
- 3. Ветшева, В.Ф. Раскрой крупномерных бревен на пиломатериалы [Текст] / В.Ф. Ветшева. - М.: Лесная промышленность, 1976. - 168 с.
УДК 624.012
