Полная версия

Главная arrow Информатика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Перевод целых чисел. Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием dj в другую с основанием сЪ необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2. Последнее частное - старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d2, а следующие за ней цифры - это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению.

Примечание. При выполнении переводов чисел из одной системы счисления в другую все необходимые арифметические действия выполняются в той системе счисления, в которой записано переводимое число.

Пример 2.1. Перевести число 27ю в двоичную и восьмеричную системы счисления:

Искомые числа запишутся в виде (27)ю= (11011)2 =(33)8.

Произведем проверку правильности перевода обратным переводом искомых чисел в десятичную систему счисления, используя выражение (2.1):

Перевод правильных дробей. Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d| в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание d2 новой системы счисления. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закончить, если появится дробная часть, имеющая во всех разрядах нули или будет достигнута заданная точность перевода, т. е. получено требуемое количество разрядов результата.

Если точность перевода равна d2'q, то после q умножений на d2 выписываются все найденные целые части в порядке их получения. Полученная запись будет представлять дробную часть числа в новой системе счисления.

Пример 2.2. Десятичную дробь 0,6347 перевести в двоичную систему счисления с точностью до 2'4.

Следовательно, искомое число запишется в виде: (0,6347)10 = (0,1010)2, а возможная наибольшая ошибка будет 2"4.

Проверку произведем переводом полученного двоичного числа в десятичное, используя выражение (2.1):

(0,1010)2= 1-2'1 + 0-2‘2 + 1-2‘3 + 0-2 4 = 1 /2+1/8=5/8=(0,625) ,о

Пример 2.3. Десятичную дробь 0,6347 перевести в восьмеричную систему счисления с точностью до 2 "5.

При переводе ограничиваемся пятью разрядами (q = 5). Тогда искомое число запишется в виде: (0,6347)ш= (0,50475)8, а возможная наибольшая ошибка будет (<8'5).

Перевод смешанных чисел. При переводе смешанных чисел из одной системы счисления в другую необходимо в новую систему перевести отдельно его целую и дробную части по правилам перевода целых чисел и правильных дробей, а затем оба полученных результата объединить в одно смешанное число новой системы счисления.

Пример 2.4. Перевести смешанное число (38,842)ю в двоичную систему счисления с точностью до 2‘3.

(3 8) 10=( 100110)2 (0,842) ю= (0,110)2 (38,842)10 =(100110,110)2

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно. Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой). Так как цифра восемь является степенью двойки (8=23), то восьмерично-двоичный код совпадает с двоичным.

Пример 2.5. Записать число (325,27)8 в двоичной системе счисления. (325,27)8=(011 010 101,010 111)8.2 = (11010101,010111)2-

Примечание. Незначащие нули слева для целых чисел и справа для дробей не записывают.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по три разряда - триады и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.

Пример 2.6. Записать число (10111011, 01101 )2 в восьмеричной системе счисления.

(10111011,01101)2=(010 111 011,011 010)8_2=(273,32)8.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и обратно. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой - четырехразрядным двоичным числом. Так как шестнадцать является степенью двойки (16=24), то шестнадцатерично-двоичный код совпадает с двоичным кодом.

Пример 2.7. Записать число (C876,F3)16 в двоичной системе счисления.

(C876,F3)I6 = (1100 1000 0111 ОНО, 1111 0011)16.2=

= (1100100001110110, 11110011)2.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на тетрады и представить каждую тетраду цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.

Пример 2.8. Записать число (1011101101, 101Ю1101)2 в шестнадцатеричной системе счисления.

(1011101101,101101101),=(0010 1110 1101. 1011 ОНО 1000)16.2= =(2ED, В68)16.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную с промежуточным переводом в восьмеричную или шестнадцатеричную систему. Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную удобно использовать промежуточный перевод в восьмеричную или шестнадцатеричную систему по общим правилам, а затем полученное восьмеричное или шестнадцатеричное число записать в двоичной системе счисления.

Пример 2.9. Перевести (1972)ю в двоичную систему счисления с использованием восьмеричной (а) и шестнадцатеричной (б) систем счисления.

  • а) (1972)ю=(3664)8=(011 110 ПО 100)8.2=( 11110110100)2;
  • б) (1972) 10=(7В4), 6=(0111 1011 0100)16.2=(11110110100)2.

Перевод двоично-десятичных чисел в двоичные и обратно осуществляется согласно рассмотренным выше правилам деления целой и умножения дробной частей числа. Перевод чисел из двоично-десятичной системы счисления в двоичную осуществляется делением целой и умножением дробной частей числа на основание (2)]0= (0010)2.

Пример 2.10. Записать число (0001 ООП, 0111 0101)2-ю в двоичной системе счисления.

Следовательно, искомое число будет иметь следующий вид:

(0001 0011,0111 0101 )2-10 = (1101,11 )2-

В данном примере десятичные цифры изображались тетрадами. Правила действий над ними нс изменились. Переход чисел из двоичной системы счисления к двоично-десятичной осуществляется делением целой и умножением дробной частей числа на основание (10)ш= (1010)2.

Пример 2.11. Записать число (ПОПОЮ, 10101)2 в двоично-десятичной системе счисления.

Следовательно, искомое число будет иметь следующий вид:

(11011010, 10101 )2=(0010 0001 1100, 0110 0101 0110)2.10.

От выбора системы счисления при проектировании ЭВМ зависят такие ее характеристики, как скорость вычислений, объем памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. С точки зрения технической реализации наилучшей является двоичная система счисления, так как для построения ЭВМ нашли широкое применение двухпозиционные элементы.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>