Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Вычислительная техника

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Позиционные системы счисления, применяемые в ЭВМ

От выбора системы счисления при проектировании ЭВМ зависят такие ее характеристики, как скорость вычислений, объем памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. С точки зрения технической реализации наилучшей является двоичная система счисления, так как для построения ЭВМ нашли широкое применение двухпозиционные элементы.

Двоичная система счисления в ЭВМ является основной системой счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в устройствах ЭВМ.

Для двоичной системы счисления d=2 и а;=0,1. Любое число из двоичной системы счисления может быть переведено в десятичную при помощи формулы разложения (2.1). Например:

Основным недостатком использования двоичной системы счисления является необходимость перевода исходных числовых данных из десятичной системы счисления в двоичную, а результатов решения - из двоичной системы счисления в десятичную. Операции, связанные с переводами чисел в двоичную систему счисления и обратно, выполняются ЭВМ по специальным подпрограммам с использованием вспомогательной двоично-десятичной системы счисления.

Таблица 2.1

Сложение

Вычитание

Умножение

0 + 0 = 0

0-0 = 0

0-0 = 0

0+1 = 1

1-0=1

0-1=0

1+0=1

1-1=0

1-0 = 0

1 + 1 = 10

10- 1 = 1

1-1 = 1

Арифметические операции над одноразрядными двоичными числами весьма просты (табл. 2.1), а над многоразрядными числами производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Однако в двоичной системе счисления арифметические действия гораздо проще. Рассмотрим правила выполнения арифметических операций с двоичными числами без знака.

Сложение двоичных чисел выполняется столбиком, начиная с младшего разряда. При сложении трех и более двоичных чисел необходимо внимательно следить за образующимися при сложении переносами в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в соседние старшие разряды, но и в более удаленные.

Вычитание двоичных чисел производят по обычному правилу. При вычитании возникает необходимость занимать единицу из старшего разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам младшего разряда. Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше, чем в разряде уменьшаемого.

Умножение двоичных чисел выполняется путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Каждое частичное произведение равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит единица. Положение запятой определяется так же, как при умножении десятичных чисел.

Деление двоичных чисел сводится к операциям умножения и вычитания. Для представления десятичных чисел в ЭВМ используют двухпозиционные элементы, на которых построена ЭВМ.

Двоично-десятичная система счисления имеет основание d=10, и каждая цифра (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) изображается в этой системе счисления четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Она используется в ЭВМ не только в качестве вспомогательной системы счисления при вводе и выводе данных, но и в качестве основной при решении задач, когда в ЭВМ вводится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними производится мало. В этом случае операции, связанные с переводами чисел из одной системы в другую, существенно превышали бы время выполнения операций по обработке информации. Наличие блока десятичной арифметики в АЛУ исключает при решении подобных задач необходимость программированного перевода чисел из одной системы счисления в другую. Использование двух основных систем счисления (двоичной и двоично-десятичной) позволяет создавать ЭВМ чрезвычайно высокой производительности.

Десятичные числа двоично-десятичной системы счисления, используемой в ЭВМ в качестве вспомогательной, обычно кодируются в прямом двоичном коде 8-4-2-1 (табл. 2.2).

Для того чтобы записать десятичное число в двоично-десятичном коде 8- 4-2-1, необходимо каждую цифру десятичного числа заменить соответствующей тетрадой.

Таблица 2.2

Десятичный

код

Код 8-4-2-1

Код

с избытком 6

Десятичный

код

Код 8-4-2-1

Код

с избытком 6

0

0000

ОНО

10

1010

10000

1

0001

0111

11

1011

10001

2

0010

1000

12

1100

10010

3

ООП

1001

13

1101

10011

4

0100

1010

14

1110

10100

5

0101

1011

15

1111

10101

6

ОНО

1100

16

10000

10110

7

0111

1101

17

10001

10111

8

1000

1110

18

10010

11000

9

1001

1111

19

10011

11001

Например, пользуясь табл. 2.2, запишем десятичное число

Для того чтобы перевести число из двоично-десятичного кода 8-4-2-1 в десятичный, необходимо каждую тетраду двоично-десятичного числа заменить десятичной цифрой.

Например, пользуясь табл. 2.2, число (ОНО 1000, 0111 )2-ю» записанное в коде 8-4-2-1, в десятичной системе счисления имеет вид

Преобразования чисел из десятичной системы счисления в двоичнодесятичную не связаны с вычислениями и легко реализуются при помощи простейших электронных схем, поскольку преобразованию подлежит небольшое количество (четыре) двоичных цифр. Двоично-десятичные числа преобразуются в десятичные автоматически в ЭВМ по особой программе перевода.

В ЭВМ, в которых предусмотрена возможность выполнения арифметических операций над десятичными числами, при выполнении операций десятичные числа из кода 8-4-2-1 преобразуются в избыточный код 6 (табл. 2.2). Использование избыточных кодов дает возможность упростить действия с десятичными числами в АЛУ, так как избыточные коды являются самодополняющимися, т.е. инверсия его двоичных цифр дает дополнение до 9.

Для представления служебной информации - программ при подготовке задач к решению на ЭВМ - применяют вспомогательные системы счисления - восьмеричную и шестнадцатеричную.

Восьмеричная система счисления имеет основание d=8 и aj=0, 1, 2, 3, 4,

5,6,7.

Любое восьмеричное число может быть представлено с помощью формулы разложения (2.1) десятичным эквивалентом, например:

Запись команд программы в восьмеричной системе счисления в три раза короче, чем в двоичной.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание d= 16 и а,=(), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. При таком изображении цифр в шестнадцатеричной системе счисления буква А изображает десять, В - одиннадцать, С - двенадцать, D - тринадцать, Е - четырнадцать, F - пятнадцать.

Любое число из шестнадцатеричной системы счисления также может быть представлено десятичным числом с помощью формулы разложения (2.1), например:

Шестнадцатеричная система счисления так же, как и восьмеричная, используется при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов - команд. Кроме того, в некоторых ЭВМ шестнадцатеричная система счисления применяется для представления чисел в полулогарифмической форме.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>