Модель расширения производства по критерию минимизации риска

В данной модели рассмотрена ситуация, когда предприятие принимает решение о реализации инвестиционного проекта, предполагающего расширение номенклатуры выпускаемых изделий. Данный проект связан с покупкой нового оборудования и материально-сырьевых ресурсов для выпуска новой продукции.

Задачи этой модели — подобрать производственную программу с минимальным значением риска ее реализации и получением прибыли не ниже определенного предприятием уровня.

Расширение номенклатуры предполагает увеличение ассортимента выпускаемой продукции с п видов до л,. При этом множество производственных программ выглядит следующим образом: Х= {х¹,х*}, где / = (Хр х*₍).

Будем считать, что уровень маржи с. = я. - b_j по каждому виду продукции определяется по выборочным значениям, накопленным за некоторый предыдущий период времени, т.е. она имеет значения с, ...,c'_T(i= 1,..., п_х), полученные в моменты времени t = 1,..., Т.

Для случайных величин c_j можно вычислить среднее значение, дисперсию и выборочный коэффициент ковариации по формулам:

где N — количество наблюдений;

cov_/m — ковариация маржи по виду продукции / и виду продукции т.

Поскольку величины прибыли для каждого вида продукции могут быть различными, то хотелось бы свести к минимуму риск для получения общей прибыли (дохода), требуя при этом, чтобы она была не ниже заданного уровня Д . Для определения риска воспользуемся формулами из теории Марковица, согласно которой необходимо определить часть y_t общей суммы, необходимой для покупки акций /-го вида. Аналогично этому вся сумма денежных средств, необходимая для реализации выпуска п_х видов продукции х_р ..., х , разбивается в соответствии с частями^. (/ = 1,..., п_х).

Для определения у. воспользуемся ограничениями на объем материально-сырьевых ресурсов. Эти ограничения делятся на два вида:

для прежнего ассортимента изделий

для новых изделий

где /.. — норма потребления ресурса, т.е. объем ресурса вида j, необходимый для выпуска единицы продукции вида /;

Lj — запасы ресурса вида j.

Отсюда можно вычислить необходимые суммы для размера закупок:

(собственные средства предприятия);

(кредитные средства предприятия),

где |3. — цена единицы ресурса вида j (j = 1,..., М_х).

Кроме того, при расширении номенклатуры потребуются новые виды оборудования, пронумеруем их в продолжение к предыдущим Твидам: К+ 1,..., K_v Для покупки этого оборудования нужна фиксированная сумма V₂₂:

Таким образом, вся сумма, необходимая для выпуска расширенного списка видов продукции, не должна превышать величину

V_{l +} V_2l+V₂₂,T.e.

В силу того что V₂₂ — фиксированная сумма, можно оставить

Если воспользоваться неравенствами (2.38) и (2.39), то (2.41) можно переписать следующим образом:

Меняя знаки суммы по j и по i местами, получим

Здесь в скобках стоят величины затрат на производство единицы продукции соответствующего вида. Введем для них обозначение:

Поэтому ограничение на материально-сырьевые ресурсы примет вид

или (после объединения обеих сумм)

Обозначим общую сумму средств, необходимую для закупки материальных ресурсов, через V, т.е. V— V_{ + V_2v Тогда

Разделим обе части неравенства на V:

Обозначив у . = QjX/V, в итоге получим

Это и есть части у_р в соответствии с которыми необходимо разбить всю сумму средств Vна закупку материальных ресурсов.

Теперь можно определить риск производства R:

где cov_/m вычисляются по формулам (2.36) и (2.37).

Как было предложено ранее, необходимо в меняющихся условиях процесса производства минимизировать риск, потребовав получения прибыли не ниже заданного уровня Д_гр, и, кроме того, учесть ряд ограничений на производственные мощности и на спрос продукции.

Приведем математическую постановку задачи:

(доли, в соответствии с которыми нужно распределить денежные средства на покупку материально-сырьевых ресурсов (в сумме меньше или равно 100%));

(ограничение на производственные мощности);

(нижнее ограничение на прибыль со всех видов изделий);

(верхнее ограничение на количество производимых изделий);

(нижнее ограничение на количество производимых изделий).

Получена задача квадратичной оптимизации, которая может быть решена средствами Microsoft Excel.