ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Решение задач с помощью формулы классической вероятности

Цель работы: сформировать навыки решения задач по теории вероятностей с помощью формулы классической (или математической) вероятности.

Под случайным событием (или просто событием) в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Рассматривая различные события, можно заметить, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни - большей, другие - меньшей, причем для некоторых из этих событий можно сразу определить, какое из них более, а какое менее возможно. Для других событий такой вывод сразу сделать невозможно. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называют вероятностью события.

Вероятность события - это числовая мера (т. е. число) степени объективной возможности этого события.

Существуют группы событий, обладающие тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместны и равновозможны. Например, появление герба и цифры при бросании монеты, появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости. События, образующие такую группу, называются случаями.

Если какой-либо опыт по своей структуре обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающую систему равновозможных и исключающих друг друга исходов опыта. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев.

Схема случаев по преимуществу имеет место в искусственно организованных опытах, в которых заранее и сознательно обеспечена одинаковая возможность исходов опыта (как, например, в азартных играх). Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на оценке доли так называемых «благоприятных» случаев в общем числе случаев.

Случай называется благоприятным (или благоприятствующим) некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев:

где Р(А) - вероятность события, п - общее число случаев, т_А - число случаев, благоприятствующих событию А.

Эта формула называется классической формулой, или формулой классической вероятности, и применяется для непосредственного вычисления вероятностей в опытах, сводящихся к схеме случаев.

Задачи и методические указания по их выполнению

Задача 1. В книге 150 страниц. Какова вероятность того, что:

• а) порядковый номер наудачу открытой страницы будет оканчиваться цифрой 3;
• б) порядковый номер страницы - число, кратное 5;
• в) порядковый номер страницы - число 25?

Решение

Всего в рассматриваемом опыте /2 = 150 возможных исходов, так как с равной вероятностью может быть открыта любая из 150 страниц.

а) Обозначим событие А = (порядковый номер наудачу открытой страницы будет оканчиваться цифрой 3). Этому событию благоприятствует т_А=5 исходов, так как в каждой десятке только одно число оканчивается на 3 (3, 13, 23, ...). Тогда по формуле классической вероятности получаем

б) Пусть событие В = (порядковый номер страницы - число, кратное 5). Этому событию благоприятствует т_в =2-15 = 30 исходов, так как в каждой десятке два числа, кратных 5 (5,10, 15, 20, 25, 30, ...). По формуле классической вероятности

в) Пусть событие С = (порядковый номер страницы - число 25). Этому событию благоприятствует только один т_с = 1 исход. По формуле классической вероятности

Ответ:

Задача 2. На полку наудачу ставят 4 тома сочинения М. Ю. Лермонтова. Какова вероятность того, что в начале будет стоять первый том, а в конце - четвёртый?

Решение

Число всех возможных исходов данного опыта равно числу перестановок из четырёх элементов п = Р₄ = 4!= 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Рассмотрим событие А=(в начале будет стоять первый том, а в конце - четвёртый). Этому событию благоприятствует только т_А = 2 исхода:

Тогда по формуле классической вероятности получаем

Ответ:

Задача 3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют трёхзначные числа (цифры могут повторяться). Найти вероятность того, что:

• а) первое наугад составленное число состоит из цифр без повторения;
• б) составленное число является наименьшим из всех возможных чисел.

Решение

а) Пусть событие В = (первое наугад составленное число состоит из цифр без повторения). Число всех возможных исходов данного опыта равно числу размещений из 5 элементов по 3 с повторениями п = А] = 5³ = 125. Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу размещений из 5 элементов по 3 без повторений т_в = А] = 5 • 4 • 3 = 60.

Тогда по формуле классической вероятности получаем:

б) Пусть событие С = (составленное число является наименьшим из всех возможных чисел). Событию С благоприятствует только один исход: т_с = 1, так как наименьшее число 111 - единственное.

Тогда по формуле классической вероятности

Ответ: а) 0,48; б) 0,008.

Задача 4. Из колоды достают 4 карты. Какова вероятность того, что:

• а) все карты старше десяти;
• б) среди извлечённых карт две дамы и две шестёрки.

Решение

а) Обозначим событие:

А = (все четыре извлечённые карты старше десяти).

Будем считать, что в колоде 36 карт. Число всех возможных исходов опыта равно числу сочетаний из 36 элементов по 4 п- С₃⁴6. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу сочетаний из 16 элементов по 4 т_А =С⁴6 (в колоде 16 карт старше десяти). Тогда по формуле классической вероятности получаем:

б) Пусть событие:

В = (среди извлечённых карт две дамы и две шестёрки).

Число способов извлечь две дамы равно числу сочетаний из 4 элементов по 2. Число способов извлечь две шестёрки также равно числу сочетаний из 4 элементов по 2. Тогда по правилу произведения событию В благоприятствует число исходов т_в -С -С]. По формуле классической вероятности получаем:

Ответ:

Задача 5. Все цифры телефонного номера различные. Какова вероятность того, что:

• а) две последние цифры чётные;
• б) последние цифры «О» и «5» (номер шестизначный).

Решение

Подсчитаем число п всех возможных исходов данного опыта. Первая цифра номера может быть выбрана девятью способами (считаем, что 0 на первом месте стоять не может). Число способов выбрать остальные 5 цифр равно числу размещений из 9 элементов по 5 без повторений ^9=9-8*7-6-5. Тогда по правилу произведения получаем п = 9-Л% = 9-9-8-7-6-5.

а) Пусть событие В = (две последние цифры чётные). Найдём число исходов т_в, благоприятствующих этому событию.

Здесь «Ч» означает, что на этом месте может быть любая чётная цифра, кроме нуля. Следовательно,

Тогда по формуле классической вероятности получаем:

б) Пусть событие С = (последние цифры «О» и «5»). Подсчитаем число исходов ш_с, благоприятствующих этому событию.

Следовательно, т_с=2-8-7-6-5.

Тогда по формуле классической вероятности:

Ответ:

Задача 6. В партии из 14 деталей 11 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что:

• а) все отобранные детали стандартные;
• б) среди отобранных деталей две нестандартные?

Решение

а) Обозначим событие:

А = (все отобранные детали стандартные).

Число всех возможных исходов опыта равно числу сочетаний из 14 элементов по 3 п = С,³4. Число исходов, благоприятствующих событию А,

равно числу сочетаний из 11 элементов по 3 т_А = С^ъп (в партии 11 стандартных деталей). Тогда по формуле классической вероятности получаем:

б) Пусть событие: В = (среди отобранных деталей две нестандартные).

Число способов извлечь две нестандартные детали равно числу сочетаний из 3 элементов по 2 (в партии 3 нестандартные детали). Число способов извлечь одну стандартную деталь равно числу сочетаний из 11 элементов по 1. Тогда по правилу произведения событию В благоприятствует число исходов т_в = С • С_х. По формуле классической вероятности получаем:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. На станцию прибыло 8 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от 1 до 8. Найти вероятность того, что среди четырёх выбранных для контрольного вскрытия окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

Задача 2. Из полной колоды карт (36 карт) наудачу вынимают

• 4 карты. Найти вероятность того, что:
  • а) все 4 карты будут разных мастей;
  • б) все карты окажутся дамами;
  • в) хотя бы одна будет чёрным королём.

Задача 3. В ящике находятся 100 деталей, сделанных на I станке, 200 деталей - на II станке, 450 деталей - на III станке, 300 деталей - на IV станке. Найти вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется сделанной: а) на II станке; б) на III станке; в) не на I станке.

Задача 4. В партии готовой продукции, состоящей из 20 изделий,

5 бракованных. Определите вероятность того, что при случайном выборе четырех изделий: а) все окажутся небракованные; б) бракованных и небракованных изделий будет поровну.

Задача 5. В урне 20 шаров с номерами от 1 до 20. Какова вероятность того, что номер вынутого шара: а) равен 15; б) не превышает 10;

в) чётный?

Задача 6. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2? Какова вероятность, что это будет число 2222?

Задача 7. В колоде 36 карт. Раздают 6 карт. Какова вероятность того, что: а) среди 6 карт будет два туза; б) карт красной и черной мастей будет поровну?

Задача 8. Из ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3, вынимают по одному все билеты. Предполагается, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер совпадает с собственным.

Задача 9. Группа туристов состоит из 17 человек, из которых 10 мужчин. На балет «Лебединое озеро» имеется 5 билетов. Необходимо выбрать 5 человек. Найти вероятность того, что:

• а) на балет пойдут не менее двух женщин;
• б) пойдут только женщины.

Задача 10. Гардеробщица выдала одновременно номерки трём лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. Перепутав шляпы, она повесила их наугад. Найти вероятность следующих событий:

• а) каждому из трёх лиц гардеробщица выдаёт свою шляпу;
• б) ровно два лица получат свои шляпы;
• в) только один получит свою шляпу;
• г) ни один из трёх не получит своей шляпы.

Задача 11. На сортировочной станции работают 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смене занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранной смене мужчин окажется не менее 2.

Задача 12. Документация на 4 готовых к отправке вагона была перепутана. Найти вероятность того, что к месту назначения все вагоны прибудут с несоответствующей документацией.

Задача 13. На карточках написаны целые числа от 1 до 15. Наудачу извлекают две карточки. Какова вероятность того, что сумма цифр, написанных на этих карточках, будет равна 10?

Задача 14. Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из трёх наудачу выбранных билетов 2 окажутся на места первого ряда?