Полная версия

Главная arrow Логика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Переход к дробному факторному плану

Полный факторный эксперимент позволяет определить влияние не только факторов, но и их взаимодействий. Так, варьируя три фактора на двух уровнях, необходимо поставить 23 = 8 опытов, при этом в полиноме, кроме коэффициента Ь0 и трех коэффициентов, отражающих влияние каждого из трех факторов - b, Ь2, b2, будет еще три взаимодействия второго - Z?i2, Z>i3, Ъ2ъ и одно взаимодействие третьего порядка Z?i23*

На начальных этапах исследования часто необходимо получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения при минимальном числе экспериментов, и использование ПФЭ для определения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов к. Если априорно известно или имеются основания полагать, что взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы, то ПФЭ для решения подобных задач будет содержать избыточное количество опытов.

При семи факторах ПФЭ содержит 27= 128 опытов, а для линейного уравнения требуется всего 8. Таким образом, остается 120 «лишних».

Если исследователя интересуют не все коэффициенты регрессии, можно обойтись меньшим количеством опытов. Сократить число опытов можно за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей, т. е. за счет эффектов больших порядков. Для этого необходимо использовать планы дробного факторного эксперимента, которые представляют собой некоторую часть (1/2; 1/4; 1/8; 1/16) от полного факторного эксперимента.

Дробный факторный эксперимент - эксперимент, состоящий из подмножества полного факторного эксперимента.

Любая часть факторного 2к плана образует реплику. Реплику называют регулярной, если число опытов равно 2к~р, где р - целое число (0 < р < к). Порядок регулярной реплики равен 2Л Реплики условно обозначают 2Л_Р, где р - число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия.

Дробный факторный эксперимент 2(*-/?); дробная реплика - факторный эксперимент, использующий тщательно отобранное подмножество (2к~р) полного факторного 2к~р эксперимента 2к, где к - число факторов полного факторного эксперимента; р - число факторов подмножества полного факторного эксперимента.

Процедура ввода нового фактора вместо эффектов взаимодействия, которым пренебрегают, записывается следующим образом: х = ±xpcj. Данное выражение называется генерирующим соотношением. Генерирующие соотношения указывают на то, с какими из эффектов смешан данный эффект.

Некоторые из условных обозначений дробных реплик и соответствующее количество опытов приведены в табл. 6.4.

Таблица 6.4

Условные обозначения дробных реплик и число опытов в дробном и полном факторном эксперименте

Число

фактов

Дробная реплика

Условное

обозначение

Число опытов

ДФЭ

ПФЭ

3

1/2 реплика от 2Ь

23'1

4

8

4

1/2 реплика от 24

24'1

8

16

5

1/4 реплика от 25

2s'1

8

32

6

1/8 реплика от 23

2б-з

8

64

5

1/2 реплика от 25

2ЪЛ

16

32

6

1/4 реплика от 26

26-2

16

64

10

1/64 реплика от 210

2Ю-6

16

1 024

Так, если в ПФЭ23 использовать хх2 в качестве плана для х3, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленный в табл. 6.5. От плана, представленного в табл. 6.1, эта матрица отличается наименованием одного столбца (значение ХХ2 преобразовано в значение^). Значение нового (третьего) фактора в условиях опытов будет определяться знаками этого столбца.

Коэффициенты, входящие в генерирующее соотношение, не могут быть оценены раздельно. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл. 6.5, вычислить еще столбцы для произведения ХХ2, то увидим, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбца х3. Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов.

Число опытов должно быть больше числа искомых коэффициентов. Предельное число факторов для N = 2к~р опытов можно вычислить, воспользовавшись следующим соотношением: к = N -I = 2Л-р-1. План с предельным числом факторов для данного числа опытов и заданной модели будет насыщенным.

Таблица 6.5

Дробный факторный эксперимент с генерирующим соотношением хз = хх2

Номер

опыта

План

Результат

Хо

XI

*2

Хз = ХХ2

1

+1

-1

-1

+1

У

2

+1

+1

-1

-1

У2

3

+1

-1

+ 1

-1

У2

4

+1

+1

+ 1

+1

_УА_

Насыщенный план - план, матрица которого имеет столько же столбцов, сколько и обработок в эксперименте.

Графическое изображение планов

Рис. 6.2. Графическое изображение планов: а - ПФЭ 23 в факторном пространстве; б - ДФЭ 23-1 в факторном пространстве

Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23'1 в факторном пространстве (для трех факторов - трехмерное пространство) представлено на рис. 6.2, а. План ПФЭ 23 представлен кубом с восемью узлами (точками плана), а возможные планы ДФЭ 23~1 - проекциями этого куба на три плоскости, т. е. из восьми узлов выбираются четыре (рис. 6.2, а). Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и сформировать план ДФЭ 23'1 (рис. 6.2, б).

Например, матрица из 8 опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 24, а для пятифакторного планирования - четвертьрепликой от 25.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>